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schiefer elliptischer Kegel

Der schiefe Ellipsenkegel (englisch: oblique cone) ist eine Verallgemeinerung des schiefen Kreiskegels; seine Grundfläche ist eine Ellipse mit entsprechenden Halbachsen und . Die Spitze des Schiefkegels braucht nicht über dem Ellipsenzentrum zu liegen, sondern kann sich über befinden.

Inhaltsverzeichnis

GrundflächeBearbeiten

Die Grundfläche wird von einer Ellipse gebildet:

 

Mit   als Länge der großen und   der kleinen Halbachsen und

 

VolumenBearbeiten

Für das Volumen gilt die verallgemeinerte Formel des schiefen Kreiskegels:

 

mit   als Höhe des schiefen Kegels,

    

als Länge der großen (halber maximaler Durchmesser) und

    

der kleinen Halbachsen (halber minimaler Durchmesser).

FaustformelBearbeiten

 

Der Fehler bei Verwendung von   zur Berechnung des Volumens ist somit kleiner als 5 % (Faktor 1,05) und kann bei einer Abschätzung vernachlässigt werden.

Generell: Mantel des schiefen EllipsenkegelsBearbeiten

 
schiefer Ellipsenkegel

Die Berechnung der Mantelfläche ist anspruchsvoll.

Die Ellipse wird durch

 
 

beschrieben (  aus  , Parameterdarstellung, siehe Zeichnung).

Es sei

 

Die Basis des infinitesimalen Dreiecks (die zur Berechnung des Kegelmantels verwendet wird) ist

 

das folgt durch Differentiation aus der obigen Parameterdarstellung. In der Literatur wird   häufig als

 

geschrieben.   mit   heißt „numerische Exzentrizität“. Die Integration von   bis   ergibt ein „elliptisches Integral zweiter Gattung“ (das ist die bekannte Formel für den Umfang einer Ellipse). Das infinitesimale Dreieck liegt in der Ebene, die durch die Ellipsen-Tangente an

 

und durch die Kegelspitze   im Abstand   senkrecht über   festgelegt ist. Die Höhe des infinitesimalen Dreiecks lautet

 

(nicht zu verwechseln mit der Höhe   des Kegels). Hier bedeutet   das Lot von   auf die Ellipsen-Tangente an den Punkt  . Es sei

 

Dann gilt

 

Die Fläche des infinitesimalen Dreiecks beträgt also

 

Die Formel für die Mantelfläche M des schiefen Ellipsenkegels lautet demnach:

 

Da der Integrand nicht symmetrisch um   verläuft, muss man hier über den Vollkreis integrieren. Unter dem Integral von 0 bis   darf man die Minuszeichen in   gemeinsam durch Pluszeichen ersetzen. Dann lautet die Formel ausgeschrieben

 

Statt   und   kann man auch   und   als Integrationsgrenzen wählen, ohne den Wert zu ändern. Wenn man   als Funktion von   und   auffasst, dann dient sie als Erzeugende der bekannten Formeln für Kreis, Ellipse und Kegel.

  = Kreisfläche
  = Ellipsenfläche
  = Mantelfläche des geraden Kreiskegels
  = Mantelfläche des schiefen Kreiskegels
  = Mantelfläche des geraden Ellipsenkegels
  = Mantelfläche des schiefen Ellipsenkegels.

Ein ExtremalwertsatzBearbeiten

Bewegt man die Spitze   des schiefen Ellipsenkegels auf gleichbleibender Höhe (bzw. mit konstanter Achse) über den Strahl   (c beliebige Steigung), dann ist der Mantel eine differenzierbare Funktion von   (bei   eine Funktion von v). Es gilt   und   (bzw.  ) und damit der Satz (analog zum Kreiskegel)

Unter allen Ellipsenkegeln derselben Höhe (derselben Achse) über derselben Grundellipse besitzt der gerade den kleinsten (bzw. größten) Mantel.

Beim Beweis verwendet man die Tatsache, dass sich die Differentiation nach   unter das Integral ziehen lässt und dass folgende Integranden, über den Vollkreis integriert, verschwinden:  ,   und  , wobei   eine Funktion bezeichnet, die um   symmetrisch verläuft, z. B.   oder  .

Speziell: Mantel des geraden EllipsenkegelsBearbeiten

Für   (also für den geraden Ellipsenkegel) lautet die Mantel-Formel

 

Durch den erlaubten Kniff

 

lässt sich der Integrand nach   und   ordnen, und man erhält den Ausdruck

 

wobei   und  . Das Integral (ohne den Faktor ½) bedeutet den Umfang der Ellipse mit den Halbachsen   und  . Daher gilt der Satz:

Die Mantelfläche des geraden Ellipsenkegels mit den Halbachsen   und   und der Höhe   ist zahlenmäßig gleich dem halben Umfang der Ellipse mit den Halbachsen   und  

Der Nutzen dieses Satzes besteht darin, dass man nun die bekannten Abschätzungen für den Ellipsenumfang auf die Mantel-Berechnung anwenden darf. Für den Umfang   der Ellipse mit den Halbachsen   und   gilt in erster Näherung (  und  , also auch  )

 

Für den Mantel   des geraden Ellipsenkegels gewinnt man daraus die Abschätzung

 

Das Gleichheitszeichen gilt für   (Mantel des geraden Kreiskegels) oder   (Ellipsen- bzw. Kreisfläche). Beispiel:  ,   und  . Die Abschätzung liefert den Wert 36,7… Der genaue Wert beträgt 36,9…

Schlussbemerkung: Durch Abschätzung des Integranden nach unten und oben erhält man die grobe Ungleichung   für   (das Gleichheitszeichen gilt für   oder  ). Die Mantelfläche ist also ungefähr gleich dem arithmetischen Mittel aus der unteren und oberen Schranke.

Siehe auchBearbeiten