Satz von Stolz

mathematischer Satz

Der Satz von Stolz, stolzsche Grenzwertsatz oder Satz von Stolz-Cesàro handelt von Grenzwerten in der Mathematik. Er ist benannt nach dem österreichischen Mathematiker Otto Stolz (1842–1905) und dem italienischen Mathematiker Ernesto Cesàro (1859–1906).

SatzBearbeiten

Sind   und   Folgen in   mit

  1.   und   streng monoton fallend oder
  2.   und   streng monoton wachsend

und existiert der Grenzwert

 ,

dann gilt:

 .

Beweis des zweiten FallsBearbeiten

Nach der Annahme der Konvergenz der Differenzenquotienten mit einem Grenzwert   existiert für jedes   ein  , sodass für alle   der Differenzenquotient zum Index   in der Umgebung   liegt. Es gibt also für jedes   ein   mit

 ;

für   gilt  .

Summiert man diese Beziehungen nach   von   bis  , so erhält man die Gleichung

 .

Somit gilt für den Quotienten der Folgenglieder

 

Der erste Summand der rechten Seite konvergiert gegen null, da die Folge   unbeschränkt wächst. Aus demselben Grunde konvergiert der zweite Summand gegen  . Aufgrund der Monotonie der Folge   gilt für den dritten Summanden

 .

Man kann nun ein   finden, sodass für alle   auch in den ersten zwei Summanden die Differenz zum Grenzwert durch   beschränkt ist, für alle   erhält man dann die Abschätzung

 ,

somit konvergiert die Folge der Quotienten gegen  .

Zur UmkehrungBearbeiten

Die Umkehrung des obigen Satzes ist im Allgemeinen falsch. Betrachtet man die beiden Folgen

 
 

dann gilt  . Die Folge   hat jedoch keinen Grenzwert.

VerallgemeinerungBearbeiten

Gegeben seien zwei weitere Folgen   und   derart, dass   und  . Weiterhin sei   streng monoton und unbeschränkt wachsend.

Aus

 

folgt dann

 .

Die oben genannten Voraussetzungen an   werden z. B. erfüllt von

  • der harmonischen Folge  , d. h.  ,
  • jeder Folge mit positivem Grenzwert, wie  , d. h.  ,
  • jeder monoton wachsenden Folge, wie  , d. h.  .

BemerkungenBearbeiten

Ein Spezialfall ist der Cauchysche Grenzwertsatz, dass also die Folge der Cesàro-Mittel einer konvergenten Folge wieder gegen den Grenzwert der Folge konvergiert.

In gewisser Weise stellt der Satz von Stolz für die Grenzwertberechnung bei Folgen ein Analogon zur Regel von de l’Hospital für die Grenzwertberechnung von Funktionen dar.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten