Satz von Myers-Steenrod

Der Satz von Myers-Steenrod ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Differentialgeometrie.

Er besagt, dass die Isometriegruppe jeder vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit eine Lie-Gruppe ist.

Der Satz stammt von Norman Steenrod und Sumner Byron Myers.

BeispieleBearbeiten

Die Isometriegruppe der Einheitssphäre   ist die orthogonale Gruppe  .

Die Isometriegruppe der hyperbolischen Ebene ist die projektive lineare Gruppe  . Die Isometriegruppe des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes ist  .

BeweisideeBearbeiten

In einer zusammenhängenden Riemannschen Mannigfaltigkeit   wähle einen Punkt   und seine Exponentialabbildung  . Die Bilder der 1-dimensionalen Unterräume in   unter der Exponentialabbildung sind genau die Geodäten durch  . Aus der Vollständigkeit von   folgt mit dem Satz von Hopf-Rinow, dass jeder Punkt in   auf einer solchen Geodäten durch   liegt.

Wähle nun   linear unabhängige Vektoren in   und bezeichne mit   ihre Bildpunkte unter  . Eine Isometrie bildet Geodäten in Geodäten ab und aus dem oben gesagten folgt, dass eine Isometrie durch die Bilder von   bereits eindeutig festgelegt ist.

Wir erhalten also eine Einbettung der Isometriegruppe   in das Produkt von   Kopien der Mannigfaltigkeit  . Man kann zeigen, dass das Bild dieser Einbettung eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit und die Gruppenoperationen in dieser Mannigfaltigkeitsstruktur differenzierbar sind. Damit wird   eine Lie-Gruppe.

VerallgemeinerungBearbeiten

Allgemeiner ist die Isometriegruppe eines  -Raumes stets eine Lie-Gruppe.[1][2]  -Räume sind eine Klasse metrischer Maßräume, die alle Riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension   mit Ricci-Krümmung   enthält und unter Gromov-Hausdorff-Konvergenz metrischer Maßräume abgeschlossen ist.

LiteraturBearbeiten

  • S. B. Myers, N. E. Steenrod: The group of isometries of a Riemannian manifold. Ann. of Math. (2) 40 (1939), no. 2, 400–416.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. L. Guijarro, J. Santos-Rodríguez: On the isometry groups of RCD*(K,N)-spaces, manuscripta mathematica 158, 441–461 (2018)
  2. G. Sosa: The isometry group of an RCD*-space is Lie, Potential Analysis 49, 267–286 (2018)