Satz von Delange

Theorem der Analytischen Zahlentheorie

Der Satz von Delange (englisch Delange’s theorem) ist ein Lehrsatz des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheorie, der auf eine Arbeit des französischen Mathematikers Hubert Delange aus dem Jahre 1961 zurückgeht und auf die Frage eingeht, unter welchen Bedingungen Aussagen über Mittelwerte zahlentheoretischer Funktionen gemacht werden können. 1965 lieferte Alfréd Rényi einen vereinfachten Beweis des Satzes, der sich wesentlich auf eine von Jonas Kubilius und Paul Turán formulierte Ungleichung stützt.[1][2]

Formulierung des Satzes

Bearbeiten

Delanges Satz lässt sich zusammengefasst formulieren wie folgt:[1][3]

Gegeben sei eine multiplikative zahlentheoretische Funktion  , welche nicht die Nullfunktion sein soll und welche dabei für jede natürliche Zahl   hinsichtlich des Betrags des Funktionswertes die Ungleichung
 [4]
erfülle.
Dann gilt:
I
  existiert mit   genau dann, wenn   den beiden folgenden Bedingungen genügt:
(1) Die Reihe   konvergiert.
(2) Es gibt mindestens eine natürliche Zahl   mit  .
II
Genügt   den beiden genannten Bedingungen, so gilt:
 

Hintergrund: Die Ungleichung von Turán und Kubilius

Bearbeiten

Die erwähnte Turán-Kubilius'sche Ungleichung (englisch Turán-Kubilius inequality) kann im Anschluss an die Monographie von Wolfgang Schwarz folgendermaßen formuliert werden:[5]

Zu einer gegebenen additiven zahlentheoretischen Funktion   seien für  
 
und
 
gesetzt.
Dann gibt es eine von der zahlentheoretischen Funktion   unabhängige absolute Konstante   derart, dass für   stets die Ungleichung
 
erfüllt ist.

Erläuterungen

Bearbeiten
  • Man sagt in Bezug auf eine gegebene zahlentheoretische Funktion  , der (zugehörige) Mittelwert   existiert, wenn in der komplexen Zahlenebene   der folgende Grenzwert existiert:
 
  • Zu der oben dargestellten Ungleichung von Turán-Kubilius findet man weitere und bessere Versionen, die einerseits das obige Abzugsglied   und andererseits die erwähnte Konstante   variieren.[6]

Literatur

Bearbeiten

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. a b Wolfgang Schwarz: Einführung in die Zahlentheorie. 1975, S. 121 ff.
  2. Jean-Marie De Koninck, Florian Luca: Analytic Number Theory. 2012, S. 87 ff.
  3. De Koninck / Luca, op. cit., S. 88
  4.   bezeichnet die Betragsfunktion.
  5. Schwarz, op. cit., S. 122
  6. József Sándor et al.: Handbook of Number Theory. I, Kapitel=XVI.3. 2006, S. 561 ff.