Der Satz von Birman-Series, benannt nach Joan Birman und Caroline Series, ist ein Lehrsatz der hyperbolischen Geometrie. Er besagt, dass, anders als in der euklidischen Geometrie des Torus, auf einer hyperbolischen Fläche die Geodäten nicht dicht liegen.

Satz von Birman-Series

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Es sei   eine hyperbolische Fläche von endlichem Flächeninhalt, das heißt eine 2-dimensionale Mannigfaltigkeit mit einer riemannschen Metrik von konstanter negativer Krümmung und endlichem Flächeninhalt.

Für   sei   die Menge der Geodäten von   mit höchstens   transversalen Selbstschnitten und   die Menge der Punkte, die auf einer Geodäte in   liegen.

Dann ist   eine nirgends dichte Teilmenge von   und sie hat die Hausdorff-Dimension 1.

Einfache geschlossene Kurven

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Der Spezialfall   besagt insbesondere, dass die einfachen geschlossenen Geodäten nirgendwo dicht liegen. Bereits dieser einfachste Fall unterscheidet hyperbolische Flächen signifikant von euklidischen: Auf einem euklidischen Torus liegt jeder Punkt auf (unendlich vielen) einfachen geschlossenen Geodäten.

Literatur

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  • Joan Birman, Caroline Series: Geodesics with bounded intersection number on surfaces are sparsely distributed. Topology 24 (1985), no. 2, 217–225. pdf
  • Albert Fathi: Expansiveness, hyperbolicity and Hausdorff dimension. Comm. Math. Phys. 126 (1989), no. 2, 249–262.
  • Jenya Sapir: Non-simple geodesics on surfaces, Stanford University 2014
  • Anna Lenzhen, Juan Souto: Variations on a theorem of Birman and Series, Annales de l'Institut Fourier 68, 2018. pdf
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