In der Kernphysik liefert die Sargent Regel (auch -Regel) einen Zusammenhang zwischen der beim Beta-Zerfall maximal freiwerdenden Energie und der Zerfallskonstanten . Für manche Nuklide gibt es aufgrund von Auswahlregeln große Abweichungen von der Sargent-Regel. Sie wurde benannt nach ihrem Entdecker, dem kanadischen Atomphysiker Bernice Weldon Sargent.

Empirische EntdeckungBearbeiten

In den 1930er Jahren beschäftigte sich Sargent mit dem Emissionsspektrum des Beta-Zerfalls verschiedener Stoffe. Dabei fand er heraus, dass die Zerfallskonstante   proportional zur fünften Potenz der maximalen kinetischen Energie des Elektrons ist:

 

Die theoretische Erklärung wurde später von Enrico Fermi gefunden.

Herleitung durch Enrico FermiBearbeiten

Den Ausgangspunkt für die theoretische Herleitung liefert Fermis Goldene Regel in Kombination mit Fermis Theorie der Schwachen Wechselwirkung.

Fermis Goldene RegelBearbeiten

 

mit dem Planckschen Wirkungsquantum  , dem Übergangsmatrixelement bzw. die Wahrscheinlichkeitsamplitude   für den schwachen Zerfall eines Neutrons in ein Proton und dem Phasenraumfaktor  . Die Elektronenmasse   multipliziert mit der Vakuumlichtgeschwindigkeit stellt die untere Integrationsgrenze dar. Die obere Integrationsgrenze   gewährleistet, dass das gesamte Spektrum berücksichtigt wird.

Übergangsmatrixelement N → PBearbeiten

Es gibt zwei mögliche Übergänge für den Beta-Zerfall, den Fermi-Übergang, der aus dem Vektoranteil der schwachen Wechselwirkung stammt und den Gamow-Teller-Übergang, der seinen Ursprung in der Axialvektorkopplung hat.


 


Beim Axialübergang fallen alle Spin-Freiheitsgrade ins Gewicht. Das wird durch den Faktor 3 vor der Axialkopplung   berücksichtigt. Bei der Vektorkopplung   hingegen sind die Spin-Freiheitsgrade nicht relevant, da es sich um einen reinen Vektor ohne Axial-Anteil handelt (Drehimpulse sind Axialvektoren).   ist das Volumen des Ortsraums in dem der Zerfall stattfindet.

Phasenraum und ZustandsdichteBearbeiten

Wegen der großen Masse des Kerns, kann dieser aus den kinematischen Betrachtungen näherungsweise ausgeschlossen werden. Der Endzustand wird dann durch einen Zwei-Teilchen-Phasenraum (Elektron und Anti-Neutrino) beschrieben. Ein Element des Phasenraumes hat das Volumen   Die Integrale über den Ortsraum können direkt ausgeführt werden und liefern zusammen einen Faktor  . Um die Integrale im Impulsraum auszuführen werden noch die Dispersionsrelationen für das Elektron und das Neutrino (wird hier als masselos angenommen) benötigt:

 
 

Durch eine Normierung auf die Ruheenergie des Elektrons kann die Phasenraumintegration auf die Form

 

mit   und  

gebracht werden. Berücksichtigt man noch den Zusammenhang zwischen der Zerfallskonstanten und der Lebensdauer so erhält man zusammen mit dem Matrixelement  

 

Sargent-RegelBearbeiten

Für große Energie ( ) gilt näherungsweise

 

und damit

 

LiteraturBearbeiten

  • Teilchen und Kerne, Povh, Rith, Scholz, Zetsche, 8. Auflage: Seiten 232ff., 2009