Prandtl-Zahl

Quotient aus kinematischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit für ein Fluid
Physikalische Kennzahl
Name Prandtl-Zahl
Formelzeichen
Dimension dimensionslos
Definition
kinematische Viskosität
Temperaturleitfähigkeit
Benannt nach Ludwig Prandtl
Anwendungsbereich Vergleich von Konvektion und Diffusion

Die Prandtl-Zahl () ist eine nach Ludwig Prandtl benannte dimensionslose Kennzahl von Fluiden, das heißt von Gasen oder tropfbaren Flüssigkeiten. Sie ist definiert als Verhältnis zwischen kinematischer Viskosität und Temperaturleitfähigkeit:

Die Prandtl-Zahl stellt die Verknüpfung des Geschwindigkeitfeldes mit dem Temperaturfeld eines Fluids dar. Während die kinematische Viskosität den Impulstransport infolge von Reibung repräsentiert, steht der Temperaturleitkoeffizient für den (ggf. instationären) Wärmetransport infolge von Leitung. Da der Impulstransport durch das Geschwindigkeitsfeld, der Wärmetransport durch das Temperaturfeld bestimmt ist, verbindet die Prandtl-Zahl die beiden für den Wärmeübergang maßgebenden Felder. Die Prandtl-Zahl ist somit ein Maß für das Verhältnis der Dicken von Strömungsgrenzschicht zu Temperaturgrenzschicht.[1]

Die Prandtl-Zahl ist eine reine, im Allgemeinen temperatur- und druckabhängige Stoffgröße (Materialparameter) des Fluids: .

Das Analogon der Prandtl-Zahl in der Stoffübertragung ist die Schmidt-Zahl . Das Verhältnis aus Schmidt- und Prandtl-Zahl ist die Lewis-Zahl.

Für ein Modellgas aus einheitlichen, harten Kugeln mit anziehender Dipolwechselwirkung (Hartkugelgas) ergibt sich unabhängig von der Temperatur der Wert (siehe kinetische Gastheorie). Dies steht für einatomige Gase Helium, Neon, Argon, Krypton und Xenon in sehr guter Übereinstimmung mit den experimentellen Werten.

Für Gase und Dämpfe gilt für Drücke von 0,1 bis 10 bar näherungsweise:

wobei der Isentropenexponent ist.

Prandtl-Zahlen wichtiger WärmeträgermedienBearbeiten

 
Prandtl-Zahl von Luft in Abhängigkeit von Temperatur und Druck
Gase
Material Prandtlzahl
Luft 00,7179 (0 °C, 1 bar abs)
00,7194 (500 °C, 1 bar abs)
Wasserdampf 00,973 (100 °C)
00,869 (500 °C)
Flüssigkeiten[2]
Material Prandtlzahl
Wasser 13,44 (0 °C)
11,16 (5 °C)
06,99 (20 °C)
04,34 (40 °C)
03,00 (60 °C)
02,20 (80 °C)
01,75 (100 °C)
NatriumAnm.1 00000,0114 (100 °C)
00000,00535 (350 °C)
Quecksilber 00000,0232
Benzol 00007,488
Ethanol 00018,84
Ethylenglycol 00184,6
Glycerin 11340
Anm.1 Schmelzpunkt: 97,72 °C

Allgemein gilt:

  • Die Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten nehmen mit steigender Temperatur ab.
  • Flüssige Metalle haben sehr kleine Prandtl-Zahlen.

Gebrauchsformeln für Luft und WasserBearbeiten

Für Luft mit einem Druck von 1 bar können die Prandtl-Zahlen im Temperaturbereich zwischen −100 °C und +500 °C mit nachfolgend angegebener Formel berechnet werden[3]. Die Temperatur ist dabei in der Einheit Grad Celsius einzusetzen. Die Abweichungen betragen maximal 0,1 % zu den Literaturwerten.

 

Die Prandtl-Zahlen für Wasser (1 bar) lassen sich im Temperaturbereich zwischen 0 °C und 90 °C mit nachfolgend angegebener Formel ermitteln[4]. Die Temperatur ist dabei in der Einheit Grad Celsius einzusetzen. Die Abweichungen betragen maximal 1 % zu den Literaturwerten.

 

Prandtl-Zahl in turbulenten StrömungenBearbeiten

Bei turbulenten Strömungen zeigt sich durch die starken Verwirbelungen verursacht eine erhöhte Diffusivität:

 
 

Damit kann auch eine turbulente Prandtl-Zahl definiert werden:

 

Die turbulente Prandtl-Zahl ist nützlich zur Berechnung von turbulenten Grenzschichtströmungen mit Wärmeübertragung. Im simplen Modell der Reynolds-Analogie ist  . Experimentelle Daten für Luftströmungen führen zu einem genaueren Wert von 0,7–0,9.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. H. Brauer: Stoffaustausch einschließlich chemischer Reaktionen. Sauerländer AG, Aarau, 1971, ISBN 3794100085
  2. Prandtl-Zahlen von Flüssigkeiten (PDF; 248 kB)
  3. tec-science: Prandtl-Zahl. In: tec-science. 9. Mai 2020, abgerufen am 25. Juni 2020 (deutsch).
  4. tec-science: Prandtl-Zahl. In: tec-science. 9. Mai 2020, abgerufen am 25. Juni 2020 (deutsch).