Die Klasse Pr der μ-rekursiven Funktionen oder partiell-rekursiven Funktionen spielt in der Rekursionstheorie, einem Teilgebiet der theoretischen Informatik, eine wichtige Rolle (µ für griechisch μικρότατος ‚das kleinste‘). Nach der Church-Turing-These beschreibt sie die Menge aller Funktionen, die im intuitiven Sinn berechenbar sind. Eine wichtige echte Teilmenge der μ-rekursiven Funktionen sind die primitiv-rekursiven Funktionen.

Die Klasse der μ-rekursiven Funktionen stimmt überein mit der Klasse der Turing-berechenbaren Funktionen sowie weiteren gleich mächtigen Berechenbarkeitsmodellen, wie dem Lambda-Kalkül, Registermaschinen und WHILE-Programmen.

Die primitiv-rekursiven Funktionen sind aus einfachen Grundfunktionen (konstante 0-Funktion, Projektionen auf ein Argument und Nachfolgerfunktion) durch Komposition und primitive Rekursion aufgebaut. Dadurch erhält man immer totale Funktionen, also Funktionen im eigentlichen Sinn. Die μ-rekursiven Funktionen sind demgegenüber partielle Funktionen, die aus denselben Konstrukten und zusätzlich durch die Anwendung des μ-Operators gebildet werden können. Durch die Anwendung des μ-Operators wird Partialität eingeführt. Jedoch ist nicht jede μ-rekursive Funktion nicht-total. Beispielsweise sind alle primitiv-rekursiven Funktionen auch μ-rekursiv. Ein Beispiel für eine nicht primitiv-rekursive, totale, μ-rekursive Funktion ist die Ackermannfunktion.

Definition des μ-Operators

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Für eine partielle Funktion   und natürliche Zahlen   sei die Menge

 

festgehalten, also die Gesamtheit aller   derart, dass   an der Stelle   identisch 0 verschwindet und zusätzlich für alle Punkte   mit   definiert ist.

Zu beachten ist dabei, dass   als Menge natürlicher Zahlen genau dann ein Minimum besitzt, wenn sie nicht leer ist. (vgl. Wohlordnung)

Durch Anwendung des  -Operators auf   entstehe nun die partielle Funktion   definiert durch:

 

Insbesondere bildet der Operator   also eine  -stellige partielle Funktion auf eine  -stellige partielle Funktion ab.

Für berechenbares   kann das Programm zur Berechnung von   verstanden werden als eine While-Schleife, die nach oben zählt, und die deswegen nicht terminieren muss:

Parameter:  .
Setze   auf  ;
Solange   erhöhe   um  ;
Ergebnis:  .

Definition der μ-rekursiven Funktionen

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Die Klasse   der μ-rekursiven Funktionen (von  ) umfasst die folgenden Grundfunktionen:

  1. konstante 0-Funktion:  
  2. Projektion auf ein Argument:  ,  
  3. Nachfolgefunktion:  

Die μ-rekursiven Funktionen erhält man als Abschluss der Grundfunktionen bezüglich der drei folgenden Operationen:

  1. Die Komposition:  , falls  
  2. Die Primitive Rekursion:   und  , falls  
  3. Der μ-Operator.

Äquivalenz der μ-rekursiven Funktionen mit der Turingmaschine

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Es lässt sich beweisen, dass eine Turingmaschine (TM) durch μ-rekursive Funktionen simuliert werden kann. Es lässt sich auch beweisen, dass die Menge der μ-rekursiven Funktionen genau der Menge der Turing-berechenbaren Funktionen entspricht.

Beweis-Skizze für die Simulation der TM mit μ-rekursiven Funktionen

Man kann zeigen, dass sich die Konfiguration einer TM durch drei Zahlen  ,  ,   darstellen lässt.
Genau so kann eine Funktion   (eine bijektive Abbildung  ) definiert werden,
die eine geeignete Kodierung der TM ist.

Nehmen wir also eine primitiv-rekursive Funktion

 ,

die eine geeignete Kodierung der TM liefert für die Eingabe   nach   Berechnungsschritten,

und eine zweite primitiv-rekursive Funktion

 ,

die für eine Kodierung   als Ergebnis 0 liefert, falls   einen Endzustand der TM repräsentiert, und ansonsten 1.

Dann ergibt

 

die Anzahl der Schritte, die eine TM zur Berechnung bis zum Ende benötigt. Also bekommen wir mit

 

die Berechnung der TM in einem Endzustand bei der Eingabe  .

Bemerkung

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  • Die Berechenbarkeit einer μ-rekursiven Funktion bezieht sich auf Werte aus ihrem Definitionsbereich. Es existiert kein allgemeines Verfahren, das alle Werte liefert, die nicht zum Definitionsbereich einer μ-rekursiven Funktion gehören.
  • Der μ-Operator realisiert einen Suchprozess, der genau dann abbricht, wenn der gesuchte Wert existiert.

Beispiele

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 ,
wobei   ein haltendes Programm ist und   die Länge des Programms in Bit bezeichnet.

Literatur

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