In der Mathematik sind Offene Bücher (engl.: open book decompositions) gewisse Zerlegungen von Mannigfaltigkeiten, die bei der Klassifikation von Kontaktstrukturen und bei der Konstruktion von Blätterungen nützlich sind.

Definition

Bearbeiten

Sei   eine geschlossene orientierte  -Mannigfaltigkeit. Ein offenes Buch auf   ist ein Paar   mit:

  1.   ist eine orientierte  -dimensionale Untermannigfaltigkeit, die Bindung des offenen Buches.
  2.   ist ein Faserbündel, so dass   das Innere einer kompakten  -dimensionalen Mannigfaltigkeit   – der Seite des offenen Buches – und   für alle   ist.

Existenz

Bearbeiten

Satz von Alexander (1920): Jede geschlossene orientierte 3-Mannigfaltigkeit lässt sich als offenes Buch darstellen.

Satz von Winkelnkemper (1973): Eine einfach zusammenhängende geschlossene Mannigfaltigkeit der Dimension   lässt sich als offenes Buch darstellen genau dann, wenn ihre Signatur verschwindet. (Letzteres trifft insbesondere immer zu, falls   nicht durch 4 teilbar ist.)  

Blätterungen

Bearbeiten

Sei   ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit  . Dann hat   eine Blätterung durch Fasern von   und auf einer Umgebung der Bindung   kann man die Reeb-Blätterung definieren, diese hat insbesondere   als ein kompaktes Blatt. Durch Turbulisierung kann man die Blätterung auf   tangential zu diesem kompakten Blatt machen, erhält also eine Blätterung auf ganz  .

Kontaktstrukturen

Bearbeiten

Sei   ein offenes Buch auf einer 3-Mannigfaltigkeit  . Eine Kontaktstruktur   wird von   getragen, wenn

  1.   eine positive Volumenform auf jeder Seite   ist und
  2.   auf der Bindung  .

Satz von Thurston-Winkelnkemper (1975): Jedes offene Buch trägt eine Kontaktstruktur.

Satz von Giroux (2000): Jede orientierte Kontaktstruktur wird von einem offenen Buch getragen. Zwei vom selben offenen Buch getragene Kontaktstrukturen sind isotop.

Literatur

Bearbeiten
Bearbeiten