Ober- und Unterlösung

zur qualitativen Analyse von (nicht explizit lösbaren) Differentialgleichungen

In der Mathematik werden Ober- und Unterlösungen (engl.: super solutions und sub solutions) zur qualitativen Analyse von (nicht explizit lösbaren) Differentialgleichungen verwendet.

Definition

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Eine Oberlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung   ist eine differenzierbare Abbildung   mit

 

für alle  .

Eine Unterlösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung   ist eine differenzierbare Abbildung   mit

 

für alle  .

Beispiel

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Für die Differentialgleichung

 

ist   eine Oberlösung wegen

 

und   eine Unterlösung wegen

 .

Weiter ist   eine Oberlösung wegen

 

und   eine Unterlösung wegen

 .

Vergleichssatz

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Der Vergleichssatz für Ober- und Unterlösungen besagt:

a) Wenn   eine Oberlösung der Differentialgleichung   mit   für ein   ist, dann gilt für jede Lösung   des Anfangswertproblems   die Ungleichung

 

für alle  .

b) Wenn   eine Unterlösung der Differentialgleichung   mit   für ein   ist, dann gilt für jede Lösung   des Anfangswertproblems   die Ungleichung

 

für alle  .

Beweis: Setze   für a) bzw.   für b). Dann ist   und in Punkten mit   muss   sein. Der Graph von   kann die  -Achse also nur von unten nach oben kreuzen, was aber wegen   nicht möglich ist. Also gilt   für alle  .

Literatur

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  • G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society, Graduate Studies in Mathematics Bd. 140, 2012, ISBN 978-0-8218-8328-0