In der Mathematik sind o-minimale Strukturen eine Axiomatisierung und Verallgemeinerung der Eigenschaften semialgebraischer Mengen. Die Elemente einer o-minimalen Struktur heißen definierbare Mengen und sie haben viele Eigenschaften mit semialgebraischen Mengen gemeinsam. Zum Beispiel haben sie nur endlich viele Zusammenhangskomponenten.

Definition

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Eine Folge   von Familien von Teilmengen des   ist eine o-minimale Struktur, wenn

  • sie unter den mengentheoretischen Operationen eine Boolesche Algebra bildet,
  •   alle semialgebraischen Teilmengen des   enthält,
  • aus   und   folgt  ,
  • aus   und   folgt   für die Projektion   auf die ersten   Koordinaten,
  • für alle   der Rand von   eine endliche Menge ist.

Beispiele

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  • Die semialgebraischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur.
  • Die subanalytischen Mengen bilden keine o-minimale Struktur.
  • Die global subanalytischen Mengen bilden eine o-minimale Struktur  .[1][2]
  • Die Menge der Teilmengen   für   mit einem Polynom   und der Projektion   auf die ersten   Koordinaten ist eine o-minimale Struktur  .[3]
  • Die Vereinigung   ist eine o-minimale Struktur.[4]

Literatur

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  • Lou van den Dries: Tame topology and o-minimal structures. London Mathematical Society Lecture Note Series 248. Cambridge University Press (1998)
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Einzelnachweise

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  1. A. M. Gabrielow: Projections of semianalytic sets (Russisch) Funkt. Anal. i Pril. 2, no.4, 18-30 (1968)
  2. L. v. d. Dries: A generalization of the Tarski-Seidenberg theorem, and some nondefinability results Bull. AMS 15, no.2, 189-193 (1986)
  3. A. J. Wilkie: Model completeness results for expansions of the ordered field of real numbers by restricted Pfaffian functions and the exponential function J. AMS 9, no. 4, 1051-1094 (1996)
  4. L. v. d. Dries, C. Miller: Geometric categories and o-minimal structures Duke Math. J. 84, no. 2, 497-540 (1996)