Nilideal ist ein mathematischer Begriff aus der Ringtheorie.

DefinitionBearbeiten

Sei R ein Ring. Ein Ideal N von R, das nur aus nilpotenten Elementen besteht, heißt Nilideal.

Allgemeiner nennt man jede Teilmenge eines Ringes nil, wenn diese nur aus nilpotenten Elementen besteht.[1]

Während man von einem nilpotenten Ideal   verlangt, dass es ein   gibt mit  , das heißt jedes Produkt   der Länge   von Elementen   ist gleich 0, wird von einem Nilideal lediglich verlangt, dass es zu jedem Element   ein von   abhängiges   gibt mit  .

Beispiele und EigenschaftenBearbeiten

  • Jedes nilpotente Ideal ist ein Nilideal, und für endlich erzeugte Ideale in kommutativen Ringen gilt auch die Umkehrung. Ein Beispiel für ein Nilideal, das nicht nilpotent ist, ist das Ideal   im Ring   mit einem Körper   und je einer Unbestimmten   für jede natürliche Zahl  .

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Seite 41
  2. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.6.23
  3. Louis H. Rowen: Ring Theory. Band 1. Academic Press Inc., Boston u. a. 1988, ISBN 0-125-99841-4 (Pure and Applied Mathematics 127), Satz 2.6.15