Negativität

Einfach zu berechnendes Verschränkungsmaß in der Quantenmechanik und Quanteninformatik

Die Negativität bezeichnet in der Quantenmechanik und Quanteninformatik ein einfach zu berechnendes Verschränkungsmaß.

Definition

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Die Negativität   ist eine Funktion, die jedem (reinen oder gemischten) Zustand   eines zusammengesetzten Quantensystems (mit Hilbertraum  ) eine nicht-negative Zahl zuordnet, nämlich die Summe der Beträge der negativen Eigenwerte der partiell transponierten Dichtematrix:

 ,

wobei   die Spurnorm bezeichnet. Die logarithmische Negativität   ist definiert durch

 .

Für Dichtematrizen auf   ist die partielle Transposition   als die lineare Abbildung definiert, die jeder Dichtematrix der Form   die Matrix   zuordnet und für beliebige Matrizen auf   mittels Linearität definiert ist. Da die Transposition   eine positive, aber nicht vollständig positive Abbildung ist, ist die partielle Transposition nicht positiv und für manche Dichtematrizen gilt   und somit  .

Die Negativität ist genau für die Zustände nicht Null, die durch das Peres-Horodecki-Kriterium als verschränkt erkannt werden und also gleich Null für alle separablen Zustände, aber auch die PPT-verschränkten Zustände.

Das Maß wurde 1998 von Życzkowski et al. eingeführt[1] und seine wesentlichen Eigenschaften wurden von Vidal und Werner bewiesen.[2]

Eigenschaften

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  •   ist ein Verschränkungsmaß, d. h. insbesondere, dass es monoton unter lokalen Operationen ist:   wann immer   aus   durch lokale Operationen und klassische Kommunikation (LOCC) erzeugt werden kann.[2] Das gilt ebenso für logarithmische Negativität.[3]
  • Die Funktion   ist konvex, aber   nicht.[2]
  • Es gibt verschränkte Zustände  , für die   (die „PPT-verschränkten“ Zustände).
  •   ist notwendige Bedingung dafür, dass der Zustand   destillierbar ist, d. h. durch LOCC in einen reinen verschränkten Zustand transformiert werden kann. Darüber hinaus gilt, dass   eine obere Schranke für die mit   erreichbare Verschränkungsdestillationsrate ist. D. h., aus   Systemen im Zustand   lassen sich durch LOCC nicht mehr als   reine Bell-Zustände gewinnen. Somit ist   auch eine obere Schranke für die Destillierbare Verschränkung.[2]
  • Die Negativität liefert auch eine untere Schranke dafür, wie nah der Zustand   durch LOCC dem maximal verschränkten Zustand   in   gebracht werden kann:[4] der Spurnormabstand zwischen   und dem lokal transformierten Zustand   ist immer  , wobei   die Dimension des kleineren der beiden Hilberträume bezeichnet:  . Daraus folgt auch, dass sich nach oben abschätzen lässt, wie gut die beste mit   erreichbare Quantenteleportation ist: für die Fidelität  , mit der ein  -dimensionaler maximal verschränkter Zustand teleportiert werden kann, gilt  .[2]
  • Die logarithmische Negativität ist additiv, d. h., dass für ein Tensorprodukt von bipartiten Zuständen   gilt, dass  .[2]
  • Negativität und logarithmische Negativität lassen sich einfach aus den Eigenwerten der partiell transponierten Dichtematrix berechnen. Dies steht im Gegensatz zu den meisten anderen Verschränkungsmaßen, für deren Berechnung das Auffinden eines Optimums über einen hochparametrigen Raum notwendig ist (z. B. Formationsverschränkung oder destillierbare Verschränkung) oder deren Berechnung die Lösung eines NP-schweren Problems beinhaltet (wie alle treuen Verschränkungsmaße, die nur für separable Zustände gleich 0 sind). Daher werden   und   insbesondere oft bei der numerischen Beschreibung von hochdimensionalen Systemen verwendet, zum Beispiel in der Vielteilchenphysik zur Charakterisierung von Quantenphasenübergängen.[5]

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Karol Życzkowski, Paweł Horodecki, Anna Sanpera, Maciej Lewenstein: Volume of the set of separable states. In: Phys. Rev. A. Band 58, S. 883, doi:10.1103/PhysRevA.58.883, arxiv:quant-ph/9804024 (englisch).
  2. a b c d e f Guifré Vidal, Reinhard F. Werner: Computable measure of entanglement. In: Phys. Rev. A. Band 65, 2002, S. 032314, doi:10.1103/PhysRevA.65.032314, arxiv:quant-ph/0102117.
  3. Martin B. Plenio: Logarithmic Negativity: A Full Entanglement Monotone that is not Convex. In: Phys. Rev. Lett. Band 95, 2005, S. 090503, arxiv:quant-ph/0505071.
  4. Hier bezeichnet   den Projektor auf den maximal verschränkten Zustand  .
  5. Vgl. z. B. Luigi Amico, Rosario Fazio, Andreas Osterloh, Vlatko Vedral: Entanglement in Many-Body Systems. In: Rev.Mod.Phys. Band 80, 2008, S. 517–576, doi:10.1103//RevModPhys.80.517, arxiv:quant-ph/0703044. oder Shengqi Sang, Yaodong Li, Tianci Zhou, Xiao Chen, Timothy H. Hsieh, Matthew P. A. Fisher: Entanglement Negativity at Measurement-Induced Criticality. In: PRX Quantum. Band 2, 2021, S. 030313, doi:10.1103/PRXQuantum.2.030313.