Im mathematischen Teilgebiet der diskreten Zahlentheorie insbesondere in der Ramsey-Theorie beschreibt der Begriff einfarbige Lösung die Eigenschaft bestimmter Zahlen einer gefärbten Zahlenmenge gleich gefärbt zu sein und eine bestimmte Gleichung zu erfüllen.

Definition

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Sei   eine  -Färbung einer Menge von positiven Ganzzahlen und   eine Gleichung in Abhängigkeit von den Variablen  .   besitzt genau dann eine einfarbige Lösung unter  , wenn Werte für   existieren, die   erfüllen und die gleiche Färbung unter   besitzen.[1]

Eigenschaften

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  • Obige Definition erlaubt die Darstellung  , wobei die   beliebige Faktoren sein können.
  • Spezialfälle von   haben aufgrund ihrer Bedeutung einen Namen erhalten. So heißen beispielsweise Zahlen   mit x + y = z Schur-Tripel.
  • Für   beschreibt   eine Ebene im dreidimensionalen Anschauungsraum.

Beispiele

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Der Satz von Van der Waerden sichert die Existenz der Van-der-Waerden-Zahlen, insbesondere von  , der Zahl, für die es in der  -Färbung einer Zahlenmenge mit   Elementen stets eine arithmetische Folge der Länge 3 gibt. Wir können diese Zahlen als   schreiben. Wir wählen anschließend   und  . Es entsteht als einfarbige Lösung die Gleichung   mit  , eine Ebenengleichung.

Ein weiteres Beispiel und Färbungsproblem der Ebene untersuchen die Schur-Zahlen.

Einzelnachweise

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  1. Anusch Taraz: Diskrete Mathematik: Grundlagen und Methoden. 2012. Auflage. Birkhäuser, 2012, ISBN 978-3-7643-8898-0, S. 81 f.