S-Dualität (Homotopietheorie)

(Weitergeleitet von Milnor-Spanier-Dualität)

In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, bezeichnet S-Dualität eine Dualität zwischen topologischen Spektren und damit zwischen verallgemeinerten Homologie- und Kohomologietheorien.

Definition

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Es seien   und   zwei Spektra. Wir bezeichnen mit   ihr Smash-Produkt und mit   das Sphärenspektrum.

Ein Dualitätsmorphismus oder eine Dualität zwischen   und   ist ein Morphismus von Spektren

 

so dass für jedes Spektrum   die durch

 
 

definierten Abbildungen

 
 

Bijektionen sind.

Die Spektren   und   heißen S-dual, wenn es einen Dualitätsmorphismus   gibt. S-Dualität ist eine symmetrische Relation.

Zwei Spektren   und   heißen  -dual für  , wenn   und   S-dual sind. Dabei bezeichnet   das durch   definierte Spektrum.

S-dualer Morphismus

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Seien   und   zwei Dualitätsmorphismen, dann ist zu jedem Morphismus

 

sein S-dualer Morphismus

 

definiert als das Bild von   unter dem Isomorphismus

 .

(  ist also wohldefiniert bis auf Homotopie.)

Insbesondere ist   genau dann S-dual zu  , wenn  .

Beispiele

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  • Die kanonische Äquivalenz   ist eine S-Dualität.
  • Für eine geschlossene  -Mannigfaltigkeit   mit Einhängungsspektrum   wird die Milnor-Spanier S-Dualität
 
definiert wie folgt: Wähle eine Einbettung   für ein   und eine Tubenumgebung   mit Projektion  . Dann ist   und wir betrachten die Komposition
 ,
wobei die erste Abbildung   auf einen Punkt kollabiert und die zweite Abbildung von   induziert wird. Dann ist
 
eine S-Dualität.
Falls   bzgl. eines Ringspektrums   orientierbar ist, dann entsprechen die kohomologischen  -Orientierungen (Thom-Klassen) unter
 
den homologischen  -Orientierungen (Fundamentalklassen).

Literatur

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  • Y. B. Rudyak: On Thom spectra, orientability, and cobordism, Springer-Verlag, 1998, Corrected reprint 2008
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