Max-stabile Prozesse

Max-stabile Prozesse erweitern die mehrdimensionale Extremwerttheorie hin zum unendlichdimensionalen Fall. Ähnlich zum ein- und mehrdimensionalen Fall, tritt ein solcher Prozess als Grenzwert der Maxima von angemessen normalisierten unabhängigen Kopien eines stochastischen Prozesses auf.

Definition

Sei $T$ eine beliebige Indexmenge. Ein stochastischer Prozess $X$ heißt max-stabil, falls es Normalisierungskonstanten $a_{n}(t)>0,b_{n}(t)\in \mathbb {R}$ gibt, sodass für unabhängige Kopien $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ des Prozesses $X$ gilt

$\left({\frac {\max _{i=1}^{n}X_{i}(t)-b_{n}(t)}{a_{n}(t)}},t\in T\right){\overset {d}{=}}(X(t),t\in T)$.

Die eindimensionalen Randverteilungen eines max-stabilen Prozesses sind durch eine der drei univariaten Extremwertverteilungen gegeben. Im Falle von Fréchet-verteilten Rändern d. h. $\mathbb {P} (X(t)\leq x)=e^{-1/x}$ können die Normalisierungskonstanten wie folgt gewählt werden: $a_{n}=n,b_{n}=0$.

Allgemeines

Seien $Y_{i},i=1,\dotsc ,n$ unabhängige Kopien des stochastischen Prozesses $Y$. Gibt es nun Normalisierungskonstanten $c_{n}(t)>0,d_{n}(t)\in \mathbb {R}$, sodass gilt $\max _{i=1}^{n}{\tfrac {Y_{i}(t)-d_{n}(t)}{c_{n}(t)}}\rightarrow X(t)$ für $n\to \infty$ und $t\in T$ und der Prozess $X$ ist nicht degeneriert, so ist $X$ ein max-stabiler Prozess. Ein max-stabiler Prozess mit einfachen Fréchet-verteilten Rändern kann mithilfe seiner Spektraldarstellung konstruiert werden.