Logarithmisches Konvergenzkriterium

Das logarithmische Konvergenzkriterium ist ein Konvergenzkriterium der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Es gibt hinreichende Bedingungen sowohl für die Konvergenz als auch für die Divergenz von Reihen, deren Glieder eine Folge positiver reeller Zahlen bilden.[1]

Formulierung des Kriterium

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Das Kriterium besagt folgendes:

Sei   eine Zahlenfolge in   und sei dabei jede Zahl        .

Es sei vorausgesetzt, dass die dazu gebildete Zahlenfolge     mit

 

eigentlich oder uneigentlich konvergiere und dabei den Grenzwert

 

habe.

Dann gilt:

(I) Im Falle       ist die zugehörige Reihe   konvergent:
    .
(II) Im Falle       ist die zugehörige Reihe   divergent:
    .

Hinweise zum Beweis

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Der Beweis beruht auf dem Majoranten- und Minorantenkriterium und darauf, dass die Reihe

 

für       konvergiert und für       divergiert.

Dabei kommt für den Konvergenzfall das Integralkriterium zum Tragen sowie die Tatsache, dass dann

 

ist.[2]

Anwendung

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  • Für
 
hat man
   ,
was nach dem Kriterium einen Beweis für die Konvergenz der bekannten Reihe
 
darstellt.
  • Für
 
hat man
   ,
womit das Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe beweist.

Anmerkung

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Über den „Zweifelsfall“       sind keine Aussagen hinsichtlich Konvergenz oder Divergenz zu machen. D. h., es können je nach vorgelegter Zahlenfolge beide Fälle eintreten.

Literatur

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  • Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969 (MR0349918).

Einzelnachweise und Anmerkungen

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  1. Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969, S. 298–299, 329 (MR0349918).
  2. Kazimierz Kuratowski: Introduction to Calculus (= International Series of Monographs in Pure and Applied Mathematics. Band 17). 2. Auflage. Pergamon Press, Oxford u. a. 1969, S. 296–297, 298–299 (MR0349918).