Leere Wahrheit

Als leere Wahrheit (englisch vacuous truth) bezeichnet man in der mathematischen Logik und der Logik eine Aussage $P\implies Q$, die wahr ist, weil das Antezedens $P$ nicht erfüllt werden kann.

Form

Leere Wahrheiten sind Implikationen $P\implies Q$, wenn $P$ a priori nicht erfüllt werden kann. Häufig sind sie von der Form

$\forall x\colon P(x)\implies Q(x),$

wenn $\forall x\colon \neg P(x)$, oder

$\forall x\in A\colon Q(x),$

wobei $A=\emptyset$.

$\emptyset$ ist die leere Menge.

Beispiele

Aus der Mathematik:

• Sei $Q$ eine Eigenschaft, dann erfüllen alle $a\in \emptyset$ die Eigenschaft $Q$.
• Sei $x\in \mathbb {R}$, dann gilt $x^{2}<0\implies x=42$.
• Sei $x\in \mathbb {R}$, dann gilt $x>0\;{\land }\;x<0\implies x>\infty$.
• Alle geraden Primzahlen $p>2$ sind durch $9$ teilbar.

Im Sprachgebrauch:

• Die englischen Redewendungen „wenn Schweine fliegen“ (englisch when pigs fly) oder „wenn die Hölle gefriert“ (englisch when hell freezes over) sind Antezedenzien einer leeren Wahrheit.

Literatur

• Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting: Set Theory and the Continuum Problem. Hrsg.: Dover Publications. 2010, ISBN 0-486-47484-4 (englisch).