Lévys stochastische Fläche

stochastischer Prozess

Lévys stochastische Fläche ist in der Stochastik ein stochastischer Prozess, welcher die umschlossene Fläche einer zwei-dimensionalen brownschen Bewegung mit ihrer Sehne beschreibt. Der Prozess wurde 1940[1] von Paul Lévy eingeführt und 1950[2] fand er eine Formel für die charakteristische Funktion und bedingte charakteristische Funktion.

Der Prozess hat viele unerwartete Verbindungen zu anderen Objekten in der Mathematik, darunter zu den Soliton-Lösungen der Korteweg-de-Vries-Gleichung[3] und zur riemannschen Zeta-Funktion.[4] Im Malliavin-Kalkül kann der Prozess verwendet werden, um einen Malliavin-glatten Prozess zu konstruieren, der jedoch keine stetige Modifikation bezüglich der Banach-Norm besitzt.[5]

Lévys stochastische Fläche

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Sei   eine zwei-dimensionale brownsche Bewegung in  , dann ist Lévys stochastische Fläche der Prozess

 

wobei hier das Itō-Integral verwendet wird.[2]

Definiere die 1-Form  , dann ist   das stochastisches Integral von   entlang der Kurve  

 [6]

Flächenformel für die stochastische Fläche

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Sei  ,  ,   und  . Lévy berechnete folgende charakteristische Funktionen

 

und

 

wobei   die euklidische Norm ist.[7]

Weiterführendes

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  • 1980 lieferte Yor einen kurzen probabilistischen Beweis.[8]
  • 1983 lieferten Helmes und Schwane eine höher-dimensionale Formel.[9]

Einzelnachweise

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  1. Paul M. Lévy: Le Mouvement Brownien Plan. In: American Journal of Mathematics. Band 62, Nr. 1, 1940, S. 487–550, doi:10.2307/2371467.
  2. a b P. Lévy: Wiener's random function, and other Laplacian random functions. In: Univ. California (Hrsg.): Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Proba. Band II, 1950, S. 171–186.
  3. N. Ikeda, S. Taniguchi, The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons, Stoch. Proc. Appl. 120 (2010) 605–621.
  4. Philippe Biane, Jim Pitman und Marc Yor: Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 38, Nr. 4, 2001, S. 435–465.
  5. Nobuyuki Ikeda und Shinzo Watanabe: An Introduction to Malliavin's Calculus. In: Elsevier (Hrsg.): North-Holland Mathematical Library. Band 32, 1984, ISBN 0-444-87588-3, S. 1–52, doi:10.1016/S0924-6509(08)70387-8.
  6. Nobuyuki Ikeda und Setsuo Taniguchi: Euler polynomials, Bernoulli polynomials, and Lévyʼs stochastic area formula. In: Bulletin des Sciences Mathématiques. Band 135, Nr. 6-7, 2011, S. 685, doi:10.1016/j.bulsci.2011.07.009.
  7. P. Lévy: Wiener's random function, and other Laplacian random functions. In: Univ. California (Hrsg.): Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Proba. Band II, 1950, S. 172–173.
  8. Yor, M. (1980). Remarques sur une formule de paul levy. In: Azéma, J., Yor, M. (eds) Séminaire de Probabilités XIV 1978/79. Lecture Notes in Mathematics, vol 784. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0089501
  9. Kurt Helmes und A. Schwane: Levy's stochastic area formula in higher dimensions. In: Journal of Functional Analysis. Band 54, Nr. 2, 1983, S. 177–192, doi:10.1016/0022-1236(83)90053-8.