Unter einem Kugelkondensator oder sphärischen Kondensator[1] versteht man einen elektrischen Kondensator, der aus zwei konzentrischen, gegeneinander isolierten, metallischen Kugeloberflächen besteht.

Kugelkondensator mit den Radien und

Für die Kapazität eines Kugelkondensators mit den Radien und gilt

, mit

ε0 ist hierbei die elektrische Feldkonstante. εr ist die Dielektrizitätszahl, welche im Vakuum gleich 1 ist.

Herleitung der Formel für die Kapazität

Bearbeiten

Für eine infinitesimal kleine Kugelschale zwischen R1 und R2 gilt für das infinitesimal kleine Reziproke der Kapazität der bekannte Zusammenhang des Plattenkondensators:

 

wobei A(r) die Oberfläche einer Kugel ist. Integriert man nun, so ergibt sich:

 

Umgestellt nach der Kapazität C ergibt dies oben genannte Formel.

Alternativ lässt sich auch die Definition   nutzen, wenn man die Formel im Abschnitt Spannung zwischen innerer und äußerer Platte verwendet.

Sonderfälle

Bearbeiten

Sehr kleiner Abstand

Bearbeiten

Wenn  , kann man angenähert   setzen und erhält  .

Sehr großer Abstand

Bearbeiten
 
Papierkondensator mit der Kapazität 5000 cm.

Wenn   ist, kann man angenähert   setzen und erhält  . Die Kapazität wird dann praktisch nur vom Radius der Innenkugel bestimmt.

Diese Näherung beschreibt auch die Kapazität einer freistehenden Kugel (auch als Kugelelektrode[1] bezeichnet), da hier die Gegenelektrode sehr weit entfernt ist (  und somit  ). Der Radius einer solchen Kugelelektrode im Vakuum diente früher als Maßeinheit der Kapazität mit folgender Äquivalenz:

 

Ladung und Ladungsdichte

Bearbeiten

Beim Kugelkondensator geht man davon aus, dass die beiden Elektroden mit der Ladung   und   entgegengesetzt geladen sind. Diese Ladungen befinden sich als Flächenladungen auf den nach innen gewandten Kugelflächen. Dann lässt sich die Ladungsdichte schreiben als   , wobei   die Dirac'sche Delta-Distribution ist.

Elektrisches Feld

Bearbeiten

Der Vektor des elektrischen Feldes zwischen den zwei Kondensatorschalen besteht wegen der Kugelsymmetrie nur aus der radialen Komponente  . Diese lässt sich mit der folgenden Formel berechnen:

  wobei  

Das Feld ist nicht homogen, sondern abhängig vom Abstand   zum Mittelpunkt des Kondensators. Innerhalb der Elektroden und außerhalb des Kondensators ist kein elektrisches Feld vorhanden.

Elektrisches Potential

Bearbeiten

Das elektrische Potential ist ein nur von   abhängiges Skalarfeld und berechnet sich, bis auf eine additive Konstante, als  . Dieses Integral kann abschnittsweise ermittelt werden:

  • Für   ist  .
  • Für   ist  .
  • Für   ist  .

Spannung zwischen innerer und äußerer Platte

Bearbeiten

Die Spannung zwischen der inneren und äußeren Kugel berechnet sich wie folgt:

 

Literatur

Bearbeiten
  • Eugen Philippow (Hrsg.): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 1. Verlag Technik, Berlin 1968, DNB 365695874, S. 308 ff.
  • Klaus Lunze: Einführung in die Elektrotechnik: Leitfaden und Aufgaben Teil I: Elektrische Kreise bei Gleichstrom und das elektrische Feld. 3. Auflage. Verlag Technik, Berlin 1964, DNB 453110886, S. 181 ff.

Einzelnachweise

Bearbeiten
  1. a b Eugen Philippow: Grundlagen der Elektrotechnik. Akademische Verlagsgesellschaft Geest&Portig K.-G., Leipzig 1967, DNB 457803371, S. 82 ff.