Kommunizierende Zustände ist ein Begriff aus der Theorie der Markow-Ketten, einem Teilbereich der Wahrscheinlichkeitstheorie. Anschaulich kommunizieren zwei Zustände einer Markow-Kette, wenn die Wahrscheinlichkeit, von einem Zustand in den anderen zu gelangen, echt größer als null ist. Kommunizierende Zustände sind deshalb von Bedeutung, weil sich viele wichtige Eigenschaften von Markow-Ketten wie Periodizität, Rekurrenz und Transienz zwischen kommunizierenden Zuständen vererben.

Definition

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Es sei eine homogene Markow-Kette in diskreter Zeit und mit endlichem oder abzählbarem Zustandsraum gegeben.

Ein Zustand   heißt erreichbar vom Zustand   aus bzw. der Zustand   führt zu Zustand  , wenn für ein   gilt, dass

 

gilt.[1] Die Wahrscheinlichkeit, in endlich vielen Schritten von   nach   zu kommen, muss also echt positiv sein. Dies wird als   oder   notiert.

Ist nun   erreichbar von   und   erreichbar von  , so kommunizieren die Zustände   und  , was oftmals mit   oder   abgekürzt wird.

Ein Zustand   heißt wesentlich, wenn von jedem Zustand  , der von   aus erreichbar ist, auch wieder der Zustand   erreichbar ist.[2] Somit ist   wesentlich, wenn aus   immer auch   folgt.

Beispiel

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Betrachtet man den obigen Übergangsgraph einer Markow-Kette, so ist der Zustandsraum  .

Von dem Zustand −2 aus ist kein anderer Zustand erreichbar, ebenso bei Zustand 2. Hingegen ist von jedem der Zustände −1,0 und 1 jeder weitere Zustand der Markow-Kette erreichbar.

Der Zustand −2 kommuniziert nur mit sich selbst, ebenso der Zustand 2. Die Zustände −1,0 und 1 kommunizieren untereinander, aber nicht mit den Zuständen −2 oder 2, da von diesen keine Rückkehr möglich ist.

Wesentlich ist der Zustand −2, genauso wie der Zustand 2. Denn für diese Zustände sind nur sie selbst erreichbar, und kehren somit auch von sich selber zurück. Hingegen sind die anderen Zustände nicht wesentlich, denn von jedem kann beispielsweise der Zustand 2 erreicht werden. Von diesem ist aber eine Rückkehr ausgeschlossen.

Eigenschaften

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Die Relation des Kommunizierens ist eine Äquivalenzrelation, die Äquivalenzklassen werden auch Kommunikationsklassen genannt.[3] Im obigen Beispiel bilden die Zustände   eine Kommunikationsklasse. Existiert nur eine Kommunikationsklasse, so spricht man von einer irreduziblen Markow-Kette.

Miteinander kommunizierende Zustände haben dieselbe Periode, ebenso sind sie stets alle transient oder alle null-rekurrent oder alle positiv rekurrent.

Trivialerweise ist von einem absorbierenden Zustand kein anderer Zustand erreichbar. Daraus folgt direkt, dass Ketten mit absorbierenden Zuständen nicht irreduzibel sein können. Ebenso ist jeder absorbierende Zustand wesentlich, genau wie jeder rekurrente Zustand.

Ist im Falle eines endlichen Zustandsraumes   von   aus erreichbar, so existiert ein  - -Pfad im Übergangsgraphen. Kommunizieren   und  , so existiert demnach sowohl ein  - -Pfad als auch ein  - -Pfad.

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Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 241.
  2. Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 2005, S. 207.
  3. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 241.