Kato-Ungleichung

Distributions-Ungleichung für den Laplace-Operator respektive gewisse elliptische Operatoren

Die Kato-Ungleichung ist in der Funktionalanalysis eine Distributions-Ungleichung für den Laplace-Operator respektive gewisse elliptische Operatoren. Sie wurde 1972 von dem japanischen Mathematiker Tosio Kato bewiesen.[1]

Wir behandeln hier den Fall für den Laplace-Operator, wie sie bei Haïm Brezis und Wolfgang Arendt zu finden ist.[2] Die ursprüngliche Ungleichung gilt allgemeiner für gewisse degenerierte elliptische Operatoren.[3]

Sei   eine beschränkte, offene Menge und  , so dass  . Dann gilt[4][2]

  in  ,

wobei

 [5]

  ist der Raum der lokal integrierbaren Funktionen.

Erläuterungen

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  • Die Ungleichung wird manchmal auch in folgender Form
  in  
dargestellt, wobei   und   die Indikatorfunktion ist.
  • Falls   stetig in   ist, dann folgt
  in  .[6]

Literatur

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  • Haı̈m Brezis und Augusto Ponce: Kato's inequality when   is a measure. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I: Mathematics. Band 338, 2004, S. 599–604, doi:10.1016/j.crma.2003.12.032.
  • W. Arendt und A.F.M. ter Elst: Kato’s Inequality. Hrsg.: Springer (= Analysis and Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications. Band 146). Cham 2019, doi:10.1007/978-3-030-12661-2_3.

Einzelnachweise

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  1. Tosio. Kato: Schrödinger operators with singular potentials. In: Israel J. Math. Band 13, 1972, S. 135–148, doi:10.1007/BF02760233.
  2. a b Haı̈m Brezis und Augusto Ponce: Kato's inequality when   is a measure. In: Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I: Mathematics. Band 338, 2004, S. 599–604, doi:10.1016/j.crma.2003.12.032.
  3. Allen Devinatz: On an Inequality of Tosio Kato for Degenerate-Elliptic Operators. In: Journal of Functional Analysis. Band 32, Nr. 3, 1979, S. 312–335, doi:10.1016/0022-1236(79)90043-0.
  4. W. Arendt und A.F.M. ter Elst: Kato’s Inequality. Hrsg.: Springer (= Analysis and Operator Theory. Springer Optimization and Its Applications. Band 146). Cham 2019, doi:10.1007/978-3-030-12661-2_3.
  5. Toshio Horiuchi: Some remarks on Kato’s inequality. In: Journal of Inequalities and Applications. 2001, doi:10.1155/S1025583401000030.
  6. Juan Dávila und Augusto Ponce: Variants of Kato’s inequality and removable singularities. In: Journal d'Analyse Mathematique. Band 91, 2003, S. 143–178, doi:10.1007/BF02788785.