Karo (Mengenlehre)

ein kombinatorisches Prinzip in der Mengenlehre

(Karo) ist ein „kombinatorisches“ Prinzip in der Mengenlehre.

Definition

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Für jede unendliche Kardinalzahl   ist   eine Abkürzung für die folgenden Aussage:

  • es gibt eine Folge   mit folgenden Eigenschaften:
  • für alle   gilt  
  • für alle   ist die Menge   eine stationäre Teilmenge von  .

Oft spricht man vereinfachend davon, dass das Prinzip   es ermöglicht, Teilmengen von   zu „erraten“. Während die Anzahl der Teilmengen von   (also die Kardinalität der Potenzmenge von  ) zwar nach dem Satz von Cantor größer als   ist, postuliert  , dass es eine transfinite Folge der Länge   gibt, die alle Teilmengen von   „errät“ (genauer: stationär oft besser und besser approximiert).

Statt   schreibt man oft nur  .

Zusammenhang mit CH und GCH

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Die Aussage ◊ ist in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre (ZFC) weder beweisbar noch widerlegbar.

Man zeigt leicht, dass aus ◊ die Kontinuumshypothese CH folgt. Allgemeiner folgt aus   die Gleichung  . Aus CH kann man ◊ nicht folgern, aber aus   zusammen mit   kann man   schließen. Aus der verallgemeinerten Kontinuumshypothese GCH folgt also   für alle   mit überabzählbarer Konfinalität.

Anwendungen

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◊ impliziert, dass die Suslin-Hypothese falsch ist; mit anderen Worten: dass es eine Suslin-Gerade gibt, also eine nicht-separable lineare Ordnung, in der dennoch jede Familie von disjunkten Intervallen höchstens abzählbar ist.