Indexsatz für Blätterungen

In der Mathematik ist der Indexsatz für Blätterungen eine Verallgemeinerung des Atiyah-Singer-Indexsatzes. Sein Spezialfall für Blätterungen durch Fasern eines Faserbündels ist der Familien-Indexsatz.

Sei ${\mathcal {F}}$ eine Blätterung einer Mannigfaltigkeit $M$, mit transversalem Maß $\Lambda$ und zugehörigem Ruelle-Sullivan-Strom $C$, und sei $D$ ein blattweise elliptischer Operator. Dann ist das Integral über den Raum der Blätter $\int \dim(ker(D_{F}))d\Lambda (F)$ endlich (wobei jeweils $D_{F}$ die Einschränkung von $D$ auf das Blatt $F$ bezeichnet), und

$\int \dim(\ker(D_{F}))d\Lambda (F)-\int \dim(\ker(D_{F}^{*}))d\Lambda (F)=\langle ch(\sigma _{D})\cdot Td(M),\left[C\right]\rangle$,

wobei $\sigma _{D}$ das Hauptsymbol von $D$, $ch$ den Chern-Charakter und $Td(M)$ die Todd-Klasse von $M$ bezeichnet.

Zum Beispiel erhält man für den blattweisen Hodge-Laplace-Operator, wenn $H^{j}(F)$ den Raum der harmonischen $j$-Formen auf $F$ bezeichnet, dass $\beta _{j}:=\int \dim H^{j}(F)d\Lambda (F)$ endlich ist und $\sum _{j}(-1)^{j}\beta _{j}=\langle e(T{\mathcal {F}}),\left[C\right]\rangle$ für die Euler-Klasse $e(T{\mathcal {F}})$ des Tangentialbündels an die Blätter gilt.

Literatur

• A. Connes: Feuilletages et algèbres d'opérateurs. Semin. Bourbaki, Vol. 1979/80, Exp. 551, Lect. Notes Math. 842, 139–155 (1981).
• A. Connes, G. Skandalis: The longitudinal index theorem for foliations. Publ. Res. Inst. Math. Sci. 20, 1139–1183 (1984).