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Im Jahr 1801 wurde von Leonhard Euler die Lösung der hypergeometrischen Differentialgleichung angegeben.[1] Sie steht in engem Zusammenhang mit der Gaußschen hypergeometrischen Funktion, die zuerst von Carl Friedrich Gauß systematisch untersucht wurde.

Inhaltsverzeichnis

Hypergeometrische DifferentialgleichungBearbeiten

Die hypergeometrische Funktion  , wobei   die Gammafunktion bezeichnet, genügt der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung:

 .

SingularitätenBearbeiten

Die Differentialgleichung 2. Ordnung besitzt drei hebbare Singularitäten, deren Werte im Folgenden bestimmt werden.

Ausgehend von der Hypergeometrischen Differentialgleichung in der Darstellung

 

mit

 

und

 

erhält man die beiden hebbaren Singularitäten bei   und  .

Die dritte hebbare Singularität wird durch die Substitution   erhalten. Zunächst werden dazu die Ableitungen der hypergeometrische Funktion wie folgt substituiert:

 

und

 

Somit nimmt die hypergeometrische Differentialgleichung, nach Division durch  , folgende Gestalt an:

 

mit

 

und

 

Demnach besitzt die hypergeometrische Differentialgleichung zudem bei   eine hebbare Singularität.

Lösung der hypergeometrischen DifferentialgleichungBearbeiten

Mit dem Potenzreihenansatz   mit komplexen Koeffizienten   lautet die hypergeometrische Differentialgleichung:

 .

Nach Ausführung der Ableitungen ergibt sich die Darstellung

 .

Zusammenfassen der Potenzen von   führt zu

 .

Mittels Indexverschiebung ergibt sich

 .

Diese Gleichung ist offensichtlich dann erfüllt, wenn:

 .

Somit ist für den Koeffizienten   folgende Rekursion gefunden:

 

Hierbei bezeichnet   das Pochhammer-Symbol.

Wird als Anfangswert   gesetzt, so lautet die erste Basislösung der hypergeometrischen Differentialgleichung:

 .

Für   erhält man als zweite linear unabhängige Basislösung[2]

 

Beide zusammen spannen den gesamten Lösungsraum der hypergeometrischen Differentialgleichung auf:

  mit  

Siehe auchBearbeiten

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Leonhard Euler: Transformationis Singularis, Nova Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, Band 12, 1801, Seite 58–70, online bei books.google.de
  2. Erwin Kreyszig: Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons 1988, Seite 204f.