Hyperbolische Spirale

Eine hyperbolische Spirale ist eine ebene Kurve, die sich in Polardarstellung durch die Gleichung

Hyperbolische Spirale: Ast für
Hyperbolische Spirale: beide Äste

einer Hyperbel beschreiben lässt. Da sie sich auch als Inversion (Kreisspiegelung) einer archimedischen Spirale auffassen lässt, heißt die Kurve auch reziproke Spirale.

1704 studierte Pierre Varignon diese Kurve. Auch Johann Bernoulli und Roger Cotes beschäftigten sich später damit.[1]

Beschreibung in kartesischen KoordinatenBearbeiten

Die hyperbolische Spirale mit der Polargleichung

 

lässt sich in kartesischen Koordinaten   durch die Parameterdarstellung

  •  

beschreiben.

Die Hyperbel in der  - -Ebene besitzt die Koordinatenachsen als Asymptoten. Die hyperbolische Spirale (in der  - -Ebene) nähert sich für   dem Nullpunkt an. Für   ergibt sich eine Asymptote (s. nächsten Abschnitt).

Aus der Parameterdarstellung und   ergibt sich eine Darstellung mit einer Gleichung:

  •  

EigenschaftenBearbeiten

AsymptoteBearbeiten

Wegen

 

hat die Kurve eine

  • Asymptote mit der Gleichung  

KrümmungBearbeiten

Mit der Formel

 

für die Krümmung einer Kurve in Polardarstellung   und den Ableitungen   und   der hyperbolischen Spirale ergibt sich für die Krümmung

  •  

Inversion einer archimedischen SpiraleBearbeiten

 
Hyperbolische Spirale (blau) als Bild einer archimedischen Spirale (grün) bei der Spiegelung am Einheitskreis (rot)

Die Spiegelung am Einheitskreis (Inversion) lässt sich in Polarkoordinaten durch   beschreiben.

  • Das Bild der archimedischen Spirale mit   ist bei der Spiegelung am Einheitskreis die hyperbolische Spirale mit der Gleichung  

Für   schneiden sich beide Kurven in einem Fixpunkt auf dem Einheitskreis.

Der Krümmungskreis der archimedischen Spirale   im Nullpunkt hat den Radius   (siehe Krümmung der archimedischen Spirale) und den Mittelpunkt  . Dieser Kreis geht bei der Kreisspiegelung in die Gerade   über (siehe Inversion). Also gilt:

  • Das Urbild der Asymptote der hyperbolischen Spirale bei der Kreisspiegelung der archimedischen Spirale ist der Krümmungskreis der archimedischen Spirale im Nullpunkt.
Beispiel

Das Bild zeigt ein Beispiel mit  . Der Kurvenbogen der archimedischen Spirale (grün), der im Einheitskreis (rot) liegt, wird auf den Teil der hyperbolischen Spirale (blau) abgebildet, der außerhalb des Kreises liegt.

BogenlängeBearbeiten

Die Länge des Bogens einer hyperbolischen Spirale zwischen zwei Punkten   lässt sich mit der Formel für Kurven in Polardarstellung berechnen:

 

 

 
Hyperbolische Spirale: Sektor

SektorflächeBearbeiten

Den Flächeninhalt eines Sektors der hyperbolischen Spirale berechnet man in Polarkoordinaten:

 
 

Zentralprojektion einer SchraublinieBearbeiten

Die Zentralprojektion einer Schraublinie ist eine hyperbolische Spirale, falls Hauptpunkt und Augpunkt auf der Schraubachse liegen, siehe Schraublinie (Darstellende Geometrie).

LiteraturBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. John J. O’Connor, Edmund F. RobertsonHyperbolic Spiral. In: MacTutor History of Mathematics archive.

WeblinksBearbeiten