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Der Goldfeld-Quandt-Test ist ein statistischer Test auf Heteroskedastizität (nicht konstante Varianz der Störgrößen) bei der Regressionsanalyse. Der Test basiert auf dem Vergleich zweier Stichprobenhälften. Er wurde benannt nach Stephen Goldfeld und Richard E. Quandt.[1]

Inhaltsverzeichnis

VorgehenBearbeiten

 
Vorgehensweise beim Goldfeld-Quandt-Test

Die Stichprobe wird in zwei Teilmengen bzgl. einer erklärenden Variablen geteilt, siehe Grafik. Die beiden Teilmengen müssen disjunkt sein, sodass keine Beobachtung in beiden Teilmengen vorkommen. Die beiden Teilmengen zusammen müssen aber nicht die gesamte Stichprobe umfassen. In der Grafik ist z. B. der Mittelteil der Beobachtungen in keiner Teilmenge (grau). Für beide Teilmengen wird eine Regression geschätzt und die Varianz der Residuen berechnet. Danach wird für jede Teilmenge die Stichprobenvarianz der Residuen   für i=1,2 bestimmt (mit  ) und der Prüfwert   mit einem kritischen Wert aus der F-Verteilung verglichen. In dem Beispiel liegt Heteroskedastizität vor, da die Regression zu einer Teilmenge eine hohe Residualvarianz (rot) aufweisen, während die Regression zur anderen Teilmenge eine niedrige Residualvarianz (blau) zeigt.

Mathematische FormulierungBearbeiten

VoraussetzungBearbeiten

Im klassischen Regressionsmodell gilt   bzw.   mit   und  . Der Test reagiert sensitiv auf Verletzungen der Normalverteilung der Residuen.

Hypothesen und TeststatistikBearbeiten

Die Null - und die Alternativhypothese lauten

  (Homoskedastizität) vs.   (Heteroskedastizität).

Die Verteilung der Teststatistik ergibt sich als

 

mit   die Anzahl der Beobachtungen im  ten Teil und   die Anzahl der geschätzten Regressionsparameter sowie

 .

Die Nullhypothese (Homoskedastizität) wird verworfen, wenn der Prüfwert größer ist als der kritische Wert   aus der F-Verteilung mit   und   Freiheitsgraden und einem vorgegebenen Signifikanzniveau  .

BeispielBearbeiten

Variable Bedeutung
medv Mittlerer Kaufpreis eines
Hauses in 1000 US$
lstat Anteil Unterschichtbevölkerung
rm Durchschnittliche Raumzahl
dis Gewichtete Entfernung zu den fünf
wichtigsten Beschäftigtenzentren

Für das Beispiel wurden lineare Regressionen mit dem Boston Housing Datensatz durchgeführt. Für jeden der 506 Bezirke wurden die rechts stehenden Variablen erhoben und eine lineare Regression durchgeführt:

 .

Plottet man die Residuen gegen die Variable dis (Grafik oben) so sieht man, dass die Varianz der Residuen abnimmt, wenn die Werte von dis zunehmen. Man teilt die Daten nun in zwei Teile: den roten und den blauen Teil. Dann fittet man zwei Regressionsmodelle und berechnet die Summe der quadrierten Residuen.

Rot  
 
Blau  
 

Dann ergibt sich der Prüfwert zu   und der kritische Wert für ein Signifikanzniveau   aus der F-Verteilung mit 108 und 45 Freiheitsgraden zu  . Da der Prüfwert größer ist als der kritische Wert muss die Nullhypothese der Homoskedastizität abgelehnt werden.

LiteraturBearbeiten

  • William E. Griffiths, R. Carter Hill, George G. Judge: Learning and Practicing Econometrics. 1. Auflage. 1993, ISBN 0-471-51364-4, S. 494 ff.

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. Stephen M. Goldfeld, R. E. Quandt: Some Tests for Homoscedasticity. In: Journal of the American Statistical Association. 60, Nr. 310, Juni 1965, S. 539–547.