Glicko-System

Wertungssystem zur Bewertung der Spielstärke z. B. im Schach

Das Glicko-System ist ein von Mark Glickman entwickeltes Wertungssystem, das es wie das Elo-System erlaubt, die Spielstärke, etwa von Schachspielern, zu messen. Die Besonderheit des Systems liegt in der Einführung weiterer Größen, wie der rating deviation (Abweichung) im klassischen Glicko-System und zusätzlich noch der rating volatility (Schwankung) im Glicko-2-System. Beide Systeme sind lizenzfrei und daher besonders bei Online-Spielen beliebt. So verwendet der Schachserver Lichess das Glicko-2-System zur Bewertung der Spieler in verschiedenen Schachvarianten und Bedenkzeitkategorien.

Unterschiede zum Elo-SystemBearbeiten

Als Erweiterung zum Elo-System führt Glickman die Variable RD (ratings deviation) ein. Diese schätzt ab, wie genau die aktuelle Wertungszahl mit der tatsächlichen (aber unbekannten) Spielstärke übereinstimmt. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 67 % liegt die tatsächliche Spielstärke im Bereich von ±RD der Wertungszahl, mit 95 % im Bereich von ±2 RD. Hat ein Spieler etwa eine Wertungszahl von 1500 und einen RD von 50, so soll seine tatsächliche Spielstärke mit einer Wahrscheinlichkeit von 95 % im Bereich von 1400 bis 1600 liegen. Wenn ein Spieler spielt, sinkt sein RD, da seine Wertungszahl mit jedem Spiel genauer wird. Spielt er nicht, steigt diese wieder langsam über die Zeit an. Außerdem bewirkt ein hoher RD, dass sich seine Wertungszahl in größeren Intervallen ändert.

Dank der Einführung der RD wird auch sichergestellt, dass sich die Wertungszahl eines aktiven Spielers, der gegen einen neuen oder inaktiven Spieler spielt, nur geringfügig ändert. Dies ist sinnvoll, da die Stärke des neuen oder inaktiven Spielers nicht genau genug bekannt ist und das Resultat daher nicht viel über die Stärke des aktiven Spielers aussagt.

BerechnungBearbeiten

Klassisches Glicko-SystemBearbeiten

Wenn der Spieler noch keine Bewertung hat, wird die Spielstärke   üblicherweise auf 1500 und die rating deviation   auf 350 gesetzt.

Ziel ist es, die Werte eines Spielers   zu aktualisieren und durch die Werte   zu ersetzen. Es wird angenommen, dass er gegen   Gegner   spielt und hierbei die Ergebnisse   erzielt, wobei   für das Ergebnis des Spieles j (Niederlage, Unentschieden oder Sieg) steht.

Schritt 1: Bestimmung eines vorläufigen RDBearbeiten

Der vorläufige RD-Wert ( ) wird, ausgehend vom alten RD-Wert ( ) wie folgt berechnet:

 

Dabei ist   die Zeit (in Wertungsperioden) seit dem letzten Wettkampf und 350 ist der Standardwert für einen unbewerteten Spieler. Sollten mehrere Spiele in einer Periode stattfinden, werden sie behandelt, als ob sie gleichzeitig stattgefunden haben. Die Wertungsperiode kann sehr lang (mehrere Monate) oder sehr kurz (einige Minuten) sein, abhängig davon, wie häufig Spiele ausgetragen werden. Die Konstante   ist abhängig von der Unsicherheit über die Stärke eines Spielers nach Ablauf einer gewissen Zeit. Sie kann aus einer genauen Analyse der vorliegenden Daten abgeleitet werden. Alternativ kann sie auf Basis der Zeit, die vergehen würde, bis der RD eines Spielers gleich dem eines unbewerteten Spielers wäre, geschätzt werden: Angenommen es dauert 100 Wertungsperioden bis der RD eines Spielers den eines unbewerteten Spielers (350) erreicht und ein typischer Spieler hat einen RD von 50, dann kann die Konstante   durch Auflösen der Gleichung

  nach   [1] gefunden werden:
 

Schritt 2: Bestimmung der neuen Werte für Spielstärke und AbweichungBearbeiten

 

mit

 .

Der Faktor   kommt auch in den Formeln des klassischen Glicko-Systems, des Elo-Systems und der Deutschen Wertungszahl vor. Er führt zu einer vergleichbaren Skalierung der Systeme.

Der Zweck der Berechnung in Schritt 1 war die Anpassung (Erhöhung) des RD an die erhöhte Unsicherheit über die Spielstärke eines Spielers nach einer Zeit der Nicht-Anwendung des Modells. Nun wird der neue RD unter Berücksichtigung der aktuellen Spiele neu justiert (und typischerweise reduziert):

 

Die neue Wertung  , nach einer Anzahl von   Spielen, ergibt sich aus folgender Gleichung:

 

Hierbei sind

  der Erwartungswert für einen Sieg im Spiel j.
  ein konstanter Gewichtungsfaktor ist, der lediglich von dem RD des Gegners im Spiel j abhängt und die Varianz der Verteilung, die   beträgt, beeinflusst.

Glicko-2-SystemBearbeiten

Das Glicko-2-System führt zusätzlich zum RD auch noch eine rating volatility   ein. Je konstanter der Spieler spielt, desto geringer ist diese.

Um die Wertungszahlen von Glicko-2 mit denen von Glicko vergleichbar zu halten, kann zu Beginn und am Ende eine Transformation der Glicko-Wertungszahl   und der rating deviation   durchgeführt werden.

Das Glicko-2-System ermittelt zu jedem Spieler drei Werte:

  • rating   (Wertung)
  • rating deviation   (Abweichung)
  • rating volatility   (Schwankung)

Schritt 1Bearbeiten

Besitzt ein Spieler keine Glicko-Wertung, erhält er die Startwerte   und  . Zusätzlich wird für die Glicko-2-Wertung noch die Schwankung   gesetzt.

Allgemein muss ein   festgelegt werden. Sinnvolle Werte liegen zwischen 0,3 und 1,2.

Schritt 2Bearbeiten

Um eine Umrechnung vom klassischen Glicko-System   in das Glicko-2-System   vorzunehmen, werden folgende Funktionen verwendet. Der Faktor   führt zu einer Skalierung, die den bestehenden Systemen entspricht und einen für Menschen praktikableren und vertrauteren Wertebereich abdeckt. Dieser liegt im drei- bis vierstelligen Bereich und ist ausreichend aussagekräftig, wenn auf ganze Zahlen gerundet wird.

 
 

Dadurch werden viele willkürlich erscheinende Parameter in den Berechnungen vermieden.

Ziel ist es, nun die Werte eines Spielers   zu aktualisieren und durch die Werte   zu ersetzen. Es wird angenommen, dass er gegen   Gegner   spielt und hierbei die Ergebnisse   erzielt, wobei   für das Ergebnis des Spieles j (Niederlage, Unentschieden oder Sieg) steht.

Die Schwankung   der Gegner wird für die Ermittelung der neuen Werte nicht benötigt.

Schritt 3Bearbeiten

 

Hierbei sind

  die Gewinnwahrscheinlichkeit in Form eine Logistischen Verteilung (Erwartungswert) und
  ein Gewichtungsfaktor, der die Varianz der Verteilung, die   beträgt, beeinflusst.

Schritt 4Bearbeiten

 

Schritt 5Bearbeiten

Für   soll gelten:

 

mit   ergibt sich

 

Zur Bestimmung des neuen   muss nun numerisch die Nullstelle folgender Funktion ermittelt werden.

 

Hierfür wird das Illinois-Verfahren eingesetzt. Dafür werden zu Beginn zwei Startwerte   und   ermittelt, sowie eine Konvergenzradius   festgelegt.

 

Falls   ist, wird   angenommen, andernfalls muss ein   gefunden werden, so dass   ist.

Mit   gilt jetzt  .

 

So gilt für den Spieler jetzt ein aktualisierter Wert für die Schwankung  .

 

Schritt 6Bearbeiten

Jetzt kann eine vorläufige Abweichung   bestimmt werden.

 

Schritt 7Bearbeiten

Jetzt lassen sich   und   ermitteln:

 
 

Hat der Spieler im Wertungszeitraum nicht gespielt, ändern sich seine Werte für   und   nicht. Anders sein Wert für  . Diese entspricht dann dem errechneten  

 

Schritt 8Bearbeiten

Zum Schluss können die Glicko-2-Werte noch in die bekannten Glicko-Werte umgerechnet werden.

 
 

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. http://www.glicko.net/glicko.html