Gaußsche isoperimetrische Ungleichung
Die gaußsche isoperimetrische Ungleichung ist in der Stochastik die isoperimetrische Ungleichung für den euklidischen Raum ausgestattet mit dem gaußschen Maß. Die Ungleichung sagt, dass unter allen Borel-Mengen im euklidischen Raum, die Halbräume das minimale gaußsche Oberflächenmaß besitzen.
Sie wurde von 1975 ([1]) von Christer Borell und unabhängig davon 1974 ([2]) von Wladimir Sudakow und Boris Tsirelson bewiesen.
Aussage
BearbeitenSei
- ein gaußscher Raum, der zusätzlich mit der euklidischen Metrik ausgestattet ist, wobei das kanonische -dimensionale gaußsche Maß ist.
- die Verteilungsfunktion der Standard-Normalverteilung,
- ein Halbraum, der mit demselben gaußschen Maß ausgestattet ist,
- eine Borel-Menge in ,
- die kleinste Distanz zwischen und .
- ist die geschlossene euklidische Nachbarschaft der Menge mit Radius . Analog die gleiche Definition für . Beachte, ist ein weiterer Halbraum.
Sei nun . Dann gilt für alle , dass das kleinste gaußsche Maß besitzt, das bedeutet
Als Konsequenz folgt daraus
Außerdem, falls gilt, dann ist zusätzlich
Verallgemeinerungen
BearbeitenEs existieren verschiedene Verallgemeinerungen, darunter die Bobkow-Ungleichung und die Ehrhard-Ungleichung.
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ Christer Borell: The Brunn-Minkowski Inequality in Gauss Space. In: Inventiones Mathematicae. Band 30, Nr. 2, 1975, S. 207–216, doi:10.1007/BF01425510 (eudml.org).
- ↑ Wladimir N. Sudakow und Boris Tsirelson: Extremal properties of half-spaces for spherically invariant measures. In: Journal of Soviet Mathematics. Band 9, 1978, S. 9–18, doi:10.1007/BF01086099.
- ↑ M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.
Literatur
Bearbeiten- D. W. Stroock: Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions. Hrsg.: Springer International Publishing. Deutschland 2023.
- M. Ledoux und M. Talagrand: Probability in Banach Spaces. In: Springer (Hrsg.): Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23. Berlin, Heidelberg 1991, S. 17, doi:10.1007/978-3-642-20212-4_11.
- Michail Anatoljewitsch Lifschitz: Lectures on Gaussian Processes. Hrsg.: Springer Berlin Heidelberg. Deutschland 2012.