GHMC-Mannigfaltigkeit

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GHMC-Mannigfaltigkeiten (global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeiten) sind ein geometrisches Konzept, das als einfaches Modell für (2+1)-dimensionale Gravitation verwendet wird.[1]

Definition

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Eine Lorentz-Mannigfaltigkeit heißt global hyperbolisch, wenn „ein Vorwärtsreisen in der Zeit nie in die Vergangenheit führt“, d. h. wenn es eine raumartige Hyperfläche (Cauchy-Fläche) gibt, die jede maximale kausale Kurve genau einmal trifft.

Eine d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit   heißt global hyperbolische maximal Cauchy-kompakte Mannigfaltigkeit, wenn sie global hyperbolisch ist, die Cauchy-Fläche kompakt ist und   mit diesen Eigenschaften maximal ist, d. h.   nicht isometrisch in eine größere global hyperbolische d-dimensionale Lorentz-Mannigfaltigkeit eingebettet werden kann.

Satz von Mess

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Der Satz von Mess (nach Geoffrey Mess 1990)[2] beschreibt die 3-dimensionalen GHMC-Mannigfaltigkeiten, die diffeomorph zu   für eine Fläche   sind.

Seine Beschreibung verwendet die Identifikation des 3-dimensionalen Anti-de-Sitter-Raumes   mit   und seiner Isometriegruppe   mit  , unter der die Wirkung von   auf   der Wirkung von   auf   durch Links- und Rechtsmultiplikation entspricht.

Mit dieser Identifikation erhält man jede GHMC-Struktur auf   wie folgt. Sei   ein Paar Fuchsscher Gruppen. Die Wirkung von   auf   lässt einen Kreis   invariant, nämlich den Graphen eines die Wirkung von   in die Wirkung von   konjugierenden Homöomorphismus  . Sei   das Komplement der Vereinigung aller   (bzgl. der Lorentz-Metrik) für  . Dann ist

 

eine GHMC-Mannigfaltigkeit diffeomorph zu   und der Satz von Mess besagt, dass jede GHMC-Struktur auf   auf diese Weise entsteht.[3] Die Holonomiegruppen dieser GHMC-Strukturen werden auch als AdS-quasifuchssche Gruppen bezeichnet.

Literatur

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  • Thierry Barbot: Lorentzian Kleinian Groups. In: L. Ji, A. Papadopoulos, S.-T. Yau (Hrsg.): Handbook of group actions, Band 1. International Press and Higher Education Press, 2015, arxiv:1609.03863
  • Lars Andersson, Thierry Barbot, Riccardo Benedetti, Francesco Bonsante, William M. Goldman, François Labourie, Kevin Scannell, Jean-Marc Schlenker: Notes on a Paper of Mess. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 47–70, arxiv:0706.0640

Einzelnachweise

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  1. Edward Witten: 2+1 dimensional gravity as an exactly soluble system. In: Nuclear Physics, B311, 46-78 (1988). fis.puc.cl
  2. Geoffrey Mess: Lorentz spacetimes of constant curvature. MSRI Preprint 1990. In: Geometriae Dedicata, Band 126, 2007, S. 3–45, arxiv:0706.1570
  3. Fanny Kassel: Geometric structures and representations of discrete groups. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Rio de Janeiro 2018. arxiv:1802.07221