Die freie Faltung ist eine binäre Operation auf Wahrscheinlichkeitsmaßen auf , welche der Addition von freien Zufallsvariablen entspricht.

Definition

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Seien   und   selbstadjungierte Zufallsvariable in einem nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitsraum, welche frei im Sinne der freien Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Sei   die Verteilung von   und   die Verteilung von  . Dann hängt die Verteilung von   nur von   und von   ab (und nicht von der konkreten Realisierung von   oder von  ); diese Verteilung von   wird mit   bezeichnet und ist die freie Faltung von   und  .

Freie harmonische Analysis

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Die Untersuchung der Eigenschaften von   wird meist als freie harmonische Analysis bezeichnet. Es gibt eine weitentwickelte Theorie der Eigenschaften von  , welche oft (aber nicht immer) parallel zur Theorie der klassischen Faltung verläuft.[1][2]

Literatur

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  • Alexandru Nica, Roland Speicher: Lectures on the Combinatorics of Free Probability (= London Mathematical Society Lecture Note Series. Bd. 335). Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2006, ISBN 0-521-85852-6.
  • Fumio Hiai, Dénes Petz: The Semicircle Law, Free Random Variables, and Entropy (= Mathematical Surveys and Monographs. Bd. 77). American Mathematical Society, Providence RI 2000, ISBN 0-8218-2081-8.

Einzelnachweise

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  1. D.-V. Voiculescu, N. Stammeier, M. Weber (eds.): Free Probability and Operator Algebras, Münster Lectures in Mathematics, EMS, 2016, Chapter 6
  2. James A. Mingo, Roland Speicher: Free Probability and Random Matrices. Fields Institute Monographs, Bd. 35, Springer Verlag, New York, 2017, Chapter 3