Flachheit in der Systemtheorie ist eine Systemeigenschaft, die den Begriff der Steuerbarkeit linearer Systeme auf nichtlineare Systeme ausweitet. Ein System, das die Flachheitseigenschaft besitzt, heißt flaches System. Flache Systeme besitzen einen Ausgang, so dass alle Zustands- und Eingangsgrößen sich vollständig anhand dieses flachen Ausgangs und einer endlichen Zahl seiner Zeitableitungen beschreiben lassen.

Definition

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Ein nichtlineares dynamisches System

 

heißt flach, wenn es einen (virtuellen) Ausgang

 

gibt, der die folgenden Bedingungen erfüllt:

  • Die Größen   lassen sich als Funktion der Zustände   und Eingänge   und einer endlichen Zahl von Zeitableitungen   ausdrücken:  .
  • Die Zustände   bzw. Eingangsgrößen   lassen sich als Funktion der   und einer endlichen Zahl derer Zeitableitungen   ausdrücken.
  • Die Komponenten von   sind differentiell unabhängig, d. h., sie erfüllen keine Differentialgleichung der Form  .

Sind diese Bedingungen mindestens lokal erfüllt, so heißt der möglicherweise fiktive Ausgang flacher Ausgang und das System heißt (differentiell) flach.

Bemerkung: Falls   gilt ist die dritte Bedingung immer erfüllt.

Bezug zur Steuerbarkeit linearer Systeme

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Ein lineares System   ist genau dann flach, wenn es steuerbar ist. Für lineare Systeme sind beide Eigenschaften also äquivalent und austauschbar.

Bedeutung

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Die Flachheitseigenschaft ist für die Analyse und Synthese nichtlinearer dynamischer Systeme nützlich. Sie ist besonders vorteilhaft für die Trajektorienplanung und asymptotische Folgeregelung nichtlinearer Systeme.

Literatur

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  • M. Fliess, J. L. Lévine, P. Martin and P. Rouchon: Flatness and defect of non-linear systems: introductory theory and examples. International Journal of Control 61(6), pp. 1327–1361, 1995
  • Hebertt Sira-Ramírez, Sunil K. Agrawal: Differentially Flat Systems (Control Engineering). CRC: 2004. ISBN 0-824-75470-0
  • Rudolph, Joachim: Beiträge zur flachheitsbasierten Folgeregelung linearer und nichtlinearer Systeme endlicher und unendlicher Dimension. Shaker Verlag, Aachen 2003. ISBN 3-8322-1765-7

Siehe auch

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