Euler-Theorem

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Das Euler-Theorem (manchmal auch Eulersche Identität[1] oder Satz von Euler über homogene Funktionen) ist ein Satz aus der Analysis, der den Zusammenhang einer (total) differenzierbaren und (positiv) homogenen Funktion mit ihren partiellen Ableitungen beschreibt. Das Theorem findet vielfach Anwendung in der Volkswirtschaftslehre, insbesondere in der Mikroökonomie.[2] Dort ist es auch unter den Namen Wicksteed-Euler-Theorem oder Ausschöpfungstheorem bekannt.

GeschichteBearbeiten

Der Satz ist nach Leonhard Euler (1707–1783) benannt. Das Euler-Theorem wurde in die Wirtschaftswissenschaften durch den Ökonomen Philip Wicksteed integriert. Er benutzte Eulers Theorem in seinem 1894 veröffentlichten Buch The Co-ordination of the Laws of Distribution.

AussageBearbeiten

Sei die Funktion   (total) differenzierbar und (positiv) homogen vom Grad  . Letzteres bedeutet   für alle   und  . Dann gilt für alle  :[1]

 

HerleitungBearbeiten

Betrachte die Funktion  . Aus der mehrdimensionalen Kettenregel folgt

 ,

wobei die zweite Gleichheit aus der vorausgesetzten Homogenität von   folgt.

Anwendung in der VolkswirtschaftslehreBearbeiten

Sei   die (total) differenzierbare Produktionsfunktion mit konstanten Skalenerträgen einer Firma. Mathematisch bedeutet dies, dass   (positiv) homogen vom Grad 1 ist. Dann folgt aus Eulers Theorem:

 

Unter der Annahme des perfekten Wettbewerbs auf allen Faktormärkten wird jeder Produktionsfaktor   im Marktgleichgewicht   gemäß seinem Grenzertrag entlohnt. Das bedeutet für alle  , dass die Faktorentlohnung des  -ten Produktionsfaktors   entspricht. Dies impliziert, dass die betrachtete Firma im Marktgleichgewicht   keinen Gewinn erwirtschaften kann, da die komplette Produktion   für die Entlohnung der Produktionsfaktoren,  , aufgewendet wird.

Ein konkretes Beispiel: Gegeben sei die Cobb-Douglas-Produktionsfunktion  , wobei   und   hier die Faktoren Kapital bzw. Arbeit darstellen.   ist offensichtlich differenzierbar und homogen vom Grad 1, da   für alle   gilt. Laut Eulers Theorem folgt:

 

Siehe auchBearbeiten

WeblinksBearbeiten

EinzelnachweiseBearbeiten

  1. a b Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Auflage. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3, Kapitel 2.8, Aufgabe 4.
  2. Andreu Mas-Collel, Michael D. Whinston, Jerry R. Green: Microeconomic Theory. Oxford University Press, New York 1995, ISBN 978-0-19-510268-0, S. 929.