Einsteinsche Mannigfaltigkeit

Begriff aus der Differentialgeometrie
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Die Einsteinsche Mannigfaltigkeit oder Einsteinmannigfaltigkeit ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie sowie aus der allgemeinen Relativitätstheorie. Es handelt sich um einen Spezialfall einer (pseudo-)riemannschen Mannigfaltigkeit und wurde nach dem Physiker Albert Einstein benannt.

DefinitionBearbeiten

Eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit   heißt Einsteinmannigfaltigkeit, falls eine reelle Konstante   existiert, so dass

 

gilt. Dabei ist   der (0,2)-Ricci-Tensor und   für jedes   Die pseudo-riemannsche Metrik   heißt unter diesen Gegebenheiten Einsteinmetrik.

EigenschaftenBearbeiten

  • Einsteinsche Mannigfaltigkeiten sind nur für Dimensionen   von eigenständigem Interesse, da sie für   und   mit den Räumen mit konstanter Skalarkrümmung beziehungsweise konstanter Schnittkrümmung zusammenfallen.
  • Sei   Dann ist eine n-dimensionale pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit einsteinsch genau dann, wenn für jedes   eine Konstante   (in Abhängigkeit von  ) existiert, so dass
 
gilt. Im Unterschied zur Definition ist hier   vom Punkt der Mannigfaltigkeit abhängig.
  • Das kartesische Produkt zweier Einsteinmannigfaltigkeiten, welche beide die gleiche Konstante   haben, ist wieder eine Einsteinmannigfaltigkeit mit Konstante  .
 
mit der kosmologischen Konstante   und der Skalarkrümmung   ist. Durch Spurbildung in der Gleichung   erhält man
 
dabei bezeichnet   die Dimension der Mannigfaltigkeit.

LiteraturBearbeiten