Einsetzungsregel (Logik)

Schlussregel der formalen Logik

Die Einsetzungsregel oder Ableitung durch Substitution ist eine Schlussregel vieler logischer Kalküle, die es erlaubt, aus einem Satz (einer allgemeingültigen Aussage) weitere abzuleiten und zu einer Aussage äquivalente Aussagen zu finden:

AussagenlogikBearbeiten

Sei   eine allgemeingültige Aussage, die den Teilausdruck   beinhaltet. Wenn jedes Auftreten von   in   gleichermaßen durch einen anderen Ausdruck   ersetzt wird, ergibt sich wieder eine allgemeingültige Aussage.

Beispiel:

Gegeben sei die allgemeingültige Aussage  . Ersetzt man   durch  , so ergibt sich  , was sich umformen lässt zu   als neue allgemeingültige Aussage.

Anwendung:

Diese Regel kann angewendet werden, um Ausdrücke in einfachere, äquivalente umzuformen.

Sei   ein beliebiger Ausdruck, so kann ein in ihm enthaltener Teilausdruck durch eine neue Variable ersetzt (substituiert) werden. Wird der entstandene Ausdruck nach anderen Regeln äquivalent umgeformt und schließlich die Substitution rückgängig gemacht, ergibt sich eine zum ursprünglichen Ausdruck äquivalente Aussage.

Beispiel:

 

Nun substituiere   durch s und erhalte

 
 
 
 

Resubstition ergibt  , also   (falsum, falsch).

Wieso ist dieses Verfahren korrekt?

Offenbar ist   für alle Ausdrücke   mit Teilausdruck   allgemeingültig. Nach Substitution von   durch   erhalten wir  . Sei   äquivalent zu  , so ist auch   allgemeingültig, also auch nach Resubstitution  .

AnmerkungBearbeiten

Die hin und wieder so genannte "Einsetzungsregel"

Prämissen:

 

Konklusion:

  (Ersetze Teilausdruck t durch s)

ist nicht in jeder Situation korrekt. Beispielsweise gelten die "Prämissen" s = "Sokrates ist ein Mensch" und a = "Wenn Sokrates ein Tier ist, sind alle Menschen Tiere." aber nicht die durch Ersetzen der Teilaussage t = "Sokrates ist ein Tier" durch s entstandene Aussage   = "Wenn Sokrates ein Mensch ist, sind alle Menschen Tiere."

Allerdings gilt (als Spezialfall der Ersetzungsregel) die Regel

Prämissen:

 

Konklusion:

  (Ersetze Teilausdruck t durch s)

PrädikatenlogikBearbeiten

Wenn in einer (in einem Modell) gültigen Aussage für eine allquantifizierte Variable   gleichermaßen für jedes Auftreten von   ein Term   eingesetzt wird, ergibt sich eine (speziellere) gültige Aussage.


Beispiel:

Wenn   gilt, so auch (ersetze   durch  ):  .

Siehe auchBearbeiten

Weitere Bedeutung: