Dysons brownsche Bewegung

Dysons brownsche Bewegung ist die Lösung einer stochastischen Differentialgleichung, die eine Verbindung zwischen der stochastischen Analysis und der Theorie der Zufallsmatrizen macht. Sie beschreibt den Eigenwert-Prozess einer hermiteschen Zufallsmatrix, deren Einträge Ornstein-Uhlenbeck-Prozesse sind.

Sie ist nach Freeman Dyson benannt, der sie zuerst entdeckt hatte.

Theorem

Sei $\Sigma ^{n}(x)=(\lambda _{1}(x),\dots ,\lambda _{n}(x))_{x\geq 0}$ ein stochastischer Prozess mit $\lambda _{1}(x)\leq \dots \leq \lambda _{n}(x)$. Dann ist $\Sigma ^{n}(x)$ Dysons brownsche Bewegung falls sie die schwache Lösung für

$\mathrm {d} \Sigma _{i}^{n}(x)={\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {\beta n}}}\mathrm {d} B_{i}(x)+{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i\neq i'}{\frac {\mathrm {d} x}{\lambda _{i}(x)-\lambda _{i'}(x)}},\quad i=1,\dots ,n$

ist, wobei $\mathrm {d} B$ eine $n$-dimensionale brownsche Bewegung ist. $\Sigma ^{n}$ ist der Eigenwert-Prozess der matrixwertigen Brownschen Bewegung mit $\beta =\{1,2\}$

$X^{n,\beta }(x)=X^{n,\beta }(0)+H^{n,\beta }(x),\quad x\geq 0$

wobei $H^{n,\beta }$ eine hermitesche Zufallsmatrix ist mit Einträgen

$h_{k,l}={\begin{cases}{\frac {1}{\sqrt {\beta n}}}(B_{k,l}+i(\beta -1)B'_{k,l})&k<l\\{\frac {2}{\sqrt {\beta n}}}B_{l,l}&k=l\end{cases}}$

und $B_{k,l},B'_{k,l}$ sind iid standard brownsche Bewegungen.