Diskussion:Verband (Mathematik)/Archiv

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Tabellenformatierung

Weiss jemand einen Weg, die Diagramme in der Tabelle richtig darzustellen, ohne sie in ein Bild umwandeln zu muessen? Ich hab einiges probiert, aber nichts hat geholfen. Auch stoert mich, dass ein Bild (das mit der monotonen Abbildung) bei mir ueber den rechten Textrand hinausgeht. Wie muessen die HTML-Befehle aussehen, damit das berichtigt wird? --SirJective 11:39, 5. Dez 2003 (CET)

Hmmm... Warum hat es jetzt funktioniert und beim letzten Mal nicht?! Damit hat sich zumindest die Diagramm-Tabelle erledigt. Das obere Bild ist zwar nun auch innerhalb des Randes, aber irgendwie gabs da doch was mit div und style, womit man Bilder "schoener und/oder moderner" platzieren kann. Ich haett es aber schon gern weiterhin an dieser Stelle! --SirJective 11:57, 5. Dez 2003 (CET)

(Überschrift eingefügt, damit Auto-Archivierung erfolgt.--Mini-floh (Diskussion) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: --Mini-floh (Diskussion) 18:13, 4. Mär. 2013 (CET)

Verschobener Kommemtar aus dem Artikel

Jemand hat diesen Kommentar in den Artikel geschrieben und ich habe ihn jetzt nach hier kopiert --213.196.251.69 08:39, 19. Jul 2004 (CEST): "Man sollte von Anfang an klarmachen, dass ein Verband (äquivalent und dabei anschaulicher) auch über seine Ordnungsstruktur definiert werden kann). Wir sollten diesen Artikel unbedingt so umschreiben, dass die Verknüpfungen im allgemeinen Fall als ∨ und ∧ und nicht als ∪ und ∩ notiert werden, denn die Rechenregeln zumindest bestimmter nichtdistributiver Verbände stimmen nicht mit denen der Mengenoperationen ∪ und ∩ überein."

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Wahl der Symbole für Verbandsoperationen

Momentan werden $\cup$ und $\cap$ benutzt, in dem kursiven Vorkommentar bei der Definition schlägt jemand $\land$ und $\lor$ vor. Ich halte beide Vorschläge für unpassend, da mit den ersten sofort die Mengenoperationen und mit den zweiden die logischen Operationen assoziiert werden. Weniger vorbelastet und deshalb geeigneter wären meiner Meinung nach die quadratischen Varianten \sqcup und \sqcap (Wikipedia bringt dummerweise einen Parser-Fehler wenn ich diese in den math-Modus setze.) Professor Kist hat in der Verbandstheorie-Vorlesung an der TU München für einen allgemeinen Verband ebenfalls diese Symbole benutzt, sie sind also nicht ungebräuchlich. Ich wäre dafür, irgendwie zu veranlassen, dass Wikipedia diese math-Befehle verdauen kann und dann den Artikel auf diese Symbole umzustellen. MKI 14:31, 4. Jul 2004 (CEST)

Jetzt habe ich es gefunden. Die von mir vorgeschlagenen Verknüpfungssymbole lassen sich mit \mathcal{t} (${\mathcal {t}}$) und \mathcal{u}(${\mathcal {u}}$) schreiben. MKI 00:02, 17. Aug 2004 (CEST)

Ja, wenn wir die Symbole aendern, dann sollten wir die eckigen verwenden. Schade dass sie nur so umstaendlich zu verwenden sind, so hat man doch recht viel zu tun. Wo ist der "local TeXnician", der mit der Veraenderung der TeX-Umgebung beauftragt werden muesste? --SirJective 17:13, 4. Okt 2004 (CEST)

Falls sich der TeXnician findet, soll er auch gleich noch die array-Umgebung aktivieren. Die matrix-Umgebung ist nicht immer ein ausreichendes Substitut.--MKI 18:12, 4. Okt 2004 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Monotone Abbildung und Teilverband

In dem Artikel steht, daß eine monotone Abbildung nicht zwingend ein Homomorphismus sein muss, und ihr Bild nicht zwingend ein Unterverband. Wie sieht es aber mit der abgeschwächten Formulierung aus, ist das Bild eines vollständigen Verbandes unter einer monotonen Abbildung wieder ein vollständiger Verband?

Es gibt einen vollständigen Verband A, einen Verband B und eine (sogar bijektive) monotone Abbildung f: A -> B, so dass f(A) kein vollständiger Verband ist:

A sei Z ohne 0 (wegen der Symmetrie :) ); dabei sei -1 kleiner als alle anderen Elemente, 1 sei größer als alle anderen, und die übrigen Elemente seien paarweise unvergleichbar.

B bestehe aus den rationalen Zahlen 1/n und -1/n für alle n in N, in ihrer natürlichen Ordnung.

f bilde z ab auf 1/z.

A ist ein vollständiger Verband (der nicht distributiv, aber komplementär ist), B ist ein unvollständiger Verband (der nicht komplementär, aber distributiv und beschränkt ist), f ist bijektiv und monoton. f ist kein Verbandshomomorphismus, und f^-1 ist nicht monoton.

Ich weiß nicht, ob es schönere Beispiele gibt, aber dies fiel mir jetzt als erstes ein. Die Hasse-Diagramme von A und B sind immerhin recht hübsch :)

Wenn wir natürlich die von A induzierte Ordnung auf f(A) anwenden, dann ist f(A) vollständig, weil sogar isomorph zu A. --SirJective 22:38, 6. Jun 2005 (CEST)

Super, genau so ein Beispiel habe ich gesucht (obwohl ich insgeheim gehofft hatte das Gegenteil wäre wahr..). Man könnte jetzt B noch um eine Null ergänzen und hätte dann f(A) = B \ {0}. f wäre dann immer noch injektiv und monoton, A und B vollständige Verbände, aber f(A) nur ein unvollständiger Verband, weil die Null fehlt.

Man kann sich jetzt noch fragen ob denn das Bild f(A) in B immer ein (unvollständiger) Verband ist, oder unter welchen Umständen das der Fall ist. Fürs erste sind das aber genug Informationen. (ich brauche das für ein Seminar) Vielen Dank!

Mein Beispiel lässt sich sogar noch vereinfachen. Wir betrachten für A und B beide Male die Menge der +-1/n, n in N. Bei A sei 1 größer als alle anderen und -1 kleiner als alle anderen, die übrigen seien paarweise unvergleichbar. Bei B haben die Elemente ihre natürliche Ordnung. f ist die identische Abbildung. Der wesentliche Punkt ist hier, dass die Ordnung verfeinert wird.

Das Bild f(A) eines Verbandes A unter einer monotonen Abbildung f in einen Verband B muss mit der Ordnung von B kein Verband sein:

A
   1
/ / \ \
2 3 4 5
\ \ / /
   6

B
   1
  / \
  2 3
  \ /
   7
  / \
  4 5
  \ /
   6

f(i) = i

f(A) mit der von B geerbten Ordnung:
   1
  / \
  2 3
  |X|
  4 5
  \ /
   6

In f(A) haben 4 und 5 kein Supremum, da sowohl 2 als auch 3 minimal über den beiden liegen.

Diese Diskussionsseiten dienen eigentlich dem Zweck, die Artikel, nicht ihre Themen, zu diskutieren. Wenn du weitere Fragen zur Mathematik hast, empfehle ich dir, ein Mathematik-Forum aufzusuchen, z.B. den Matheplaneten (www.matheplanet.com), wo du mich auch findest ;) --SirJective 20:29, 8. Jun 2005 (CEST)

Ok danke für den Tip, dann werde ich demnächst da meine Fragen stellen..

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Ordnungsstruktur

Lieber Gunther, leider mußt Du jetzt mit einem wikipedianisch anerkannten Schwachkopf diskutieren, bevor Du revertest. Du hast doch meine Diskussionen beobachtet. Ich bin kein Aussagenlogiker und habe mich jetzt mit dem Kram dennoch, trotz Ablehenung hier weiterbeschäftigt.

• An dieser Stelle gibt es den Übergang boolescher Verband zu boolescher Algebra. Deswegen ist ein Explikation hilfreich.
• Der Artikel boolescher Verband verweist auv boolesche Algebra, ohne zu erklären wie der Zusammenhang genau zustandekommt. Das steht dann hier, aber man wird nicht hierher verwiesen.
• v $\cap \neg$ w ist für Dich eine Aussage mit Behauptungscharakter und stellt sich im Zusammenhang dann als falsch dar.
• Für mich als Begriffslogiker ist das ein meinbarer Begriff, dessen Widersprüchlichkeit aus v $\leq$ w abgeleitet werden muß und kann.
• Wie man in meinen anderen Diskussionen lesen kann sind "nicht existent" und "widersprüchlich" zwei verschiedene Dinge, die die leere Menge vereint.
• Dieses Thema wird überall nicht ausführlich dargestellt. Auch z.B. nicht im Bronstein.
• Es wird fast immer auf Mengen bezogen, nicht auf Logik, mathematisch oder nicht.
• Da ich doch noch den Artikel zum Begriffslogikkalkül schreiben will, ist Genauigkeit in dem Themenkreis vollständiger boolescher Verband unerläßlich.
• Im Absatz Verband steht hier doch auch nichts.
• Wo soll man das so anbringen, daß es in der Nähe der Kommutativgesetze steht.
• Schließlich, und das ist für mich der überzeugendste Grund, hatte ich versucht über das Thema Übergang boolescher Verband zu boolescher Algebra hier Klarheit zu bekommen und das ist mir aus den jetzt genannten Gründen nicht gelungen.
• Die ganze Vebandstheorie ist hier uneinheitlich, "ablenkend" und wirr dargestellt.
• Und gerade Du vertrittst den Standpunkt dies hier sei keine Formelsammlung. Also was hast Du gegen einen Hinweis auf Zusammenhänge?

Ich bitte um Abstimmung oder Ausschluß.

• Übrigens sehe ich ständig nicht definitionsgemäß gezeichente Venndiagramme.

Gruß: --Roomsixhu 18:09, 12. Jun 2006 (CEST)

Ich dachte, Du wolltest Dich aus mathematischen Themen raushalten? Sorry, aber Deine Einfügung ist einfach wirr, und an dieser Stelle auch noch auf Notationsunterschiede einzugehen lenkt den Leser völlig unnötigerweise ab. Was man sich im Fall konkreter Verbände unter dieser Teilordnung vorzustellen hat, ist weiter unten bei den jeweiligen Beispielen ausreichend erklärt.--Gunther 18:22, 12. Jun 2006 (CEST)

Also oben steht schon mal stillschweigend eingeführt, Infimum und Supremum, aber die sind für einen Verband keine Voraussetzung. Im Zusammenhang sollte man diese Begriffe klären, insbesondere Obere/untere Schranke, maximales/minimales Obejekt und größtes/kleinstes Objekt in der Halbordnungsstruktur. Umgekehrt müssen in einer Halbordnungsstruktur zwei Verknüpfungen $\cap$ und $\cup$ definiert werden, so daß sich ein Verband ergibt: Also v $\cap$ w : = inf(v,w) und v $\cup$ w : = sup(v,w) damit die Halbordnung auch Verknüpfungen hat und Halbordnung und der Verband äquivalent sind. Dann kann man ihnen auch Namen "Durchschnitt" und "Vereinigung" geben. Dann sind Relativkalkül und Gleichungskalkül äquivalent. Das muß man dann aber auch in beide Richtungen zeigen können. Hier in der Wikipedia habe ich aber nur die Richtung vom Verband zur Halbordnung gefunden. Wie genau kommen also zu v $\leq$ w die Verknüpfungen?

Von den Verknüpfungen wird stillschweigend auch schon zu viel gesagt. Es sind zueinander duale Verknüpfungen. Wieso Durchschnitt etc? Das kommt später.

Im Verband selbst folgt ohne Infimum nicht v $\cap$ w = v und wenn ich das so unmittelbar unter v $\cap$ w = w $\cap$ v schreibe, sollte man erwähnen, daß Kommutativität im Verband schon ohne Infimum/Supremum besteht und der folgende Kalkül mit Infimum und Supremum dann auch ein speziellerer ist.

Auch wenn das allgemeine Übung ist, Verbände gleich mit Supremum und Infimum einzuführen, ist es nicht gut den Leser gleich zu Beginn auf seine Kenntnissse über Infimum und Supremum zu prüfen. Man kommt ja nicht weiter, wenn man gleich dorthin wegklickt und die augenfällige Axiomatik oben funktioniert im Verband auch ohne inf und sup.

Dann schreibe Du doch etwas über Äquivalenz der Halbordnung und des Verbandes und zwar in beide Richtungen.

Äquivalent kommt im Artikel nur im Zusammenhang Aussage und Teilmenge vor.

Kommutativ kommt nur noch in Bezug auf Halbgruppe vor. Der link hilft aber auch nicht weiter. Eine Erklärung, wie die Halbordnung kommutativ wird, wäre hilfreich.

Was Mathematik ist bestimmst Du? a $\leq$ b ist aristotelische Syllogistik und heißt alle a sind b. Weiter kann man in dem von mir intendierten Kalkül (a = b ) $\leq$ (a $\leq$ b) beweisen. Deshalb brauch ich das hier genau erklärt.

Ich bin mir ziemlich sicher, daß es nicht viele Leser dieses Artikels gibt, dashalb möchte ich auch nicht ständig geprüft werden, wenn ich als Leser den Artikel nicht verstehe und das auch begründe.--Roomsixhu 22:11, 12. Jun 2006 (CEST)

Wenn Du den Artikel nicht verstehst, dann solltest Du ihn nicht bearbeiten.--Gunther 11:18, 13. Jun 2006 (CEST)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Verbandstheoretische Herleitung

Was ich hier so lustig finde ist: Ein boolescher Verband wird mit einem booleschen Mengenverband erklärt! Spaßeshalber habe ich dann auch mal {v} und {w} in den Mengenverband eingesetzt und siehe: {v} $\leq$ {w}. Leider auch: {v} $\leq$ 0. Das für den Fall: "falls nicht". Zum Glück ist der Mengenkalkül kein logischer.

Eine Herleitung ohne Rückgriff auf eine Halbordnung mit Verknüpfungen, die Mengenlehre, geht dann auch sauberer.

Die Schritte gehen dann so:

• Vorbemerkung: a,b,c ..., v,w ... seien irgendwie definierte Objekte die in einem Bereich H enthalten sind, und auch Terme genannt werden, und Verknüpfungen von Objekten sind wieder Objekte. (Eine Definition kann dann auch sein, Objekte sind Elemente einer Menge.) $\neg$ a ist auch ein Objekt, und a $\cap$ b und a $\cup$ b auch. Im Bereich gibt es wenigstens ein Objekt.
• Erster Schritt: Man hat einen Verband und die obigen Axiome. Es gilt:

a $\cap$ b = a <===> a $\cup$ b = b.
Das sind alles Objekte.

Dann definiert man: v $\leq$ w : <===> v $\cap$ w = v

• Zweiter Schritt: Dann beweist man, daß das eine Halbordung ist:

1. v $\leq$ v folgt aus Idempotenz.
2. v $\leq$ w $\land$ w $\leq$ v ==> v=w. Bew: w= w $\cap$ v= v $\cap$ w= v nach Kommutativität und Voraussetzung.
3. u $\leq$ v $\land$ v $\leq$ w ==> u$\leq$w. Bew: u $\cap$ w= (u $\cap$ v) $\cap$ w= u $\cap$ (v $\cap$ w)= u $\cap$ v = u. Durch Einsetzen, Assoziativität und nach Definition dann u $\leq$ w.

• Dritter Schritt: So jetzt haben wir eine Halbordnung. In dieser können wir dann definieren. Und zwar:

Sei (H, $\leq$) eine Halbordnungsstruktur, (das haben wir nachgewiesen) und T $\subseteq$ H. Z.B u,v,w aus a,b,c .... (So verstehe ich das.) H ist der Trägerbereich.

Obere Schranke: x heißt obere Schranke von T genau dann, wenn für jedes Objekt y aus T gilt: y $\leq$ x

Untere Schranke: x heißt untere Schranke von T genau dann, wenn für jedes Objekt y aus T gilt: x $\leq$ y.

Sei (H, $\leq$) eine Halbordnungsstruktur und T $\subseteq$ H.

Supremum: Ein x heißt Supremum von T genau dann, wenn x die kleinste obere Schranke von T ist, das heißt, wenn für alle oberen Schranken y von T gilt; x $\leq$ y. Abgekürzt schreibt man sup(T)

Infimum: Ein x heißt Infimum von T genau dann, wenn x die größte unter Schranke von T ist, das heißt, wenn für alle unteren Schranken y von T gilt; y $\leq$ x. Abgekürzt schreibt man inf(T).

Es gilt dann einiges für inf und sup wie gewohnt.

Im Verband mit $\cap ,\cup$ und Halbordnung nur mit $\leq$ gilt dann:

u $\cap$ v= inf (u,v)

u $\cup$ v= sup (u,v)

Nach den Absorptionsgesetzen und der Defintion ist u $\cup$ v obere Schranke von u und v.

u $\cup$ v ist auch kleinste obere Schranke. Denn ist u $\leq$ w und v $\leq$ w, so ist u$\cap$ w= u und v$\cap$ w= v Und nach dem Satz im ersten Schritt oben: u$\cup$ w= w und v$\cup$ w= w. Dann ist für (das "Objekt") u $\cup$ v :

w $\cup$ (u $\cup$ v) = (w $\cup$ u) $\cup$ v= w $\cup$ v = w nach Assoziativität und Voraussetzung, und wieder nach Satz im ersten Schritt oben und anfäglicher Definition
w $\cap$ (u $\cup$ v) = (u $\cup$ v) also u $\cup$ v $\leq$ w.

Sorum geht es aus dem Verband heraus!

Von der Halbordnung zum Verband gehört in den anderen Artikel.--Roomsixhu

Diskussion über folgendes Beispiel

Im Artikel steht folgendes:

Kein Verband, da {c, d} zwar obere Schranken a, b, e hat, aber keine kleinste obere Schranke, weil a und b nicht vergleichbar sind.

e / \ a b | \/ | | /\ | c d \ / f

Dies ist meiner Meinung nach nicht richtig, da für ein Verband V*=(V,<=) ein Halbverband (oder poset) ist, für das für alle x,y \in V gilt: es existiert ein x \/ y (sup) und ein x /\ y (inf). Jetzt ist bei diesem Beispiel doch c \/ d = e sehr wohl erfüllt. Allerdings ist es kein vollständiger Verband, da wie richtig geschrieben wurde, z.B. die Teilmenge {a,b,c,d} kein Infimum oder supremum besitzt. (nicht signierter Beitrag von 94.222.32.126 (Diskussion) 10:51, 28. Nov. 2010 (CET))

Damit endlich eine Antwort erfolgt: das Beispiel ist doch so zu lesen, dass in der Ordnung gilt: $d\leq a$ und $c\leq b$ und natürlich gilt auch $c\leq a$ und $d\leq b$. Was soll dann aber $c\sqcup d$ sein, wenn $a$ und $b$ nicht vergleichbar sind? Es ist ja nicht nur nach einer (minimalen) oberen Schranke gefragt, sondern sie soll zugleich kleiner als alle anderen oberen Schranken sein, und das ist hier nicht möglich.--Mini-floh (Diskussion) 18:17, 20. Feb. 2013 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 17:53, 4. Mär. 2013 (CET)

Zuerst Vereinigung und dann Durchschnitt

Es ist sinnvoller bei der Notation eines Verbandes als erste Operation die Vereinigung und als zweites den Durchschnitt zu nehmen, denn dies entspricht dann der üblichen Notation von Halbringen und Ringen (zuerst Vereinigung = Addition, danach Durchschnitt = Multiplikation) - distributive Verbände sind ja spezielle Halbringe bzw. boolsche Verbände spezielle Ringe - ebenso wie der von multiplikativen Halbverbänden, auch halbverbandsgeordnete Gruppoide genannt, (Durchschnitt = Multiplikation) - distributive Verbände sind auch multiplikative Halbverbände. Nicht ohne Grund heissen die neutralen Elemente in Verbänden Null (neutrales Element der Addition) und Eins (neutrales Element der Multiplikation).--RP 21:26, 25. Okt 2007

Ausserdem ist in der Definition die Schreibweise "(algebraischer) Verband" schlecht, denn ein algebraischer Verband ist ein vollständiger Verband, in dem jedes Element das Supremum von kompakten Elementen ist, also ein sehr spezieller Verband.--RP 21:32, 25. Okt 2007

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 16:30, 16. Mär. 2013 (CET)

Vollständiger Verband

Zu vollständigen Verbänden steht im Artikel:

Es genügt, für jede Teilmenge M die Existenz des Supremums zu verlangen, denn es ist

• $\bigcap M=\bigcup \{x\in V:(\forall \,y\in M:x\leq y)\}.$

Dies scheint ungesagt vorrauszusetzen, dass der Verband nach unten beschränkt ist. Es gibt aber auch Verbände, in der jede Menge ein Supremum hat aber nicht jede Menge ein Infimum. Z.B. Die Menge mit der negativen ganzen Zahlen mit der üblichen Ordnung oder die Menge der natürlichen Zahlen (ohne 0) mit der Ordnung 'ist Vielfaches von'. --Kajdron (Diskussion) 13:58, 4. Mär. 2012 (CET)

Habe die Antwort selber gefunden: Wenn alle Mengen ein Supremum haben, hat auch die leere Menge ein Supremun, der Verband also ein kleinstes Element. In meinen Beispielen haben nur nicht leere Mengen ein Supremum. --Kajdron (Diskussion) 16:36, 4. Mär. 2012 (CET)

Archivierung dieses Abschnittes wurde gewünscht von: Mini-floh (Diskussion) 21:24, 21. Mär. 2013 (CET)