Diskussion:Spektralradius

Zitat: Genauer gibt es zu jedem ε > 0 eine Matrixnorm, so daß

   \rho(A)\le\|A\|<\rho(A)+\epsilon. 

Sorry, aber kann mit dem Satz nichts anfangen bzw. verstehe nicht, wo der Unterschied zwischen "Es gibt norm(A) mit rho(A)= norm(A)" sein sollte. Desweiteren ist mir trotzt intensiver Nachforschungen in der Wikipedia immer noch unklar, ob der Spektralradius nun der kleinsten Matrixnorm entspricht oder ob aus der Tatsache, dass eine Norm <1 ist, auch rho<1 folgt. Denke deshalb, dass es an dieser Stelle günstig wäre, mehr Zusammenhänge zwischen den Normen(evtl. auch Spektralnorm) und dem Spektralradius anzugeben und insbesondere durch Aussagen wie "..."<=>"..." oder "..."=>"..." zu unterstützen. (Obwohl ich großer Fan der Wikipedia bin, konnte mir an dieser Stelle leider nicht bei der vertiefenden Vorbereitung auf eine Anfänger-Numerik-Klausur geholfen werden.) (nicht signierter Beitrag von 88.72.46.127 (Diskussion) )

Änderung vom 15.10.2006

Ich vermute mal, daß in der Aussage $\rho (A)\leq \|A\|<\rho (A)+\epsilon$ die gewählte Norm von $A$ abhängen muß, denn andernfalls wäre die Aussage meines Erachtens sinnlos. Ich habe es im Artikel entsprechend geändert. --Jckr 17:59, 15. Okt. 2006 (CEST)

Unklare Abhängigkeit

Genauer gibt es zu jedem $\epsilon >0$ eine von $A$ abhängige Matrixnorm, so dass

$\rho (A)\leq \|A\|<\rho (A)+\epsilon$

gilt. ...

ist m.E. unklar oder falsch.

Formal / sprachlich gesehen: Die Matrixnorm, von der die Rede ist, ist eine Abbildung von den Matrizen in die reellen Zahlen. Die Matrixnorm hängt also genausowenig von A, ihrem Argument, ab, wie irgendeine Funktion von einem Wert abhängt, den sie in den Bildraum abbildet. Es ist vielmehr der Funktionswert, der via die Funktion vom Funktionsargument abhängt.

Inhaltlich gesehen: Die induzierte Matrixnorm etwa hängt von der Norm im Urbild-Vektorraum ab; war das vielleicht gemeint?

-- Silvicola 13:54, 22. Jan. 2008 (CET)

Nein, das ist schon in etwa richtig. Zu jeder Matrix läßt sich im entsprechenden Spaltenvektorraum eine Norm finden, so dass die Ungleichung in der induzierten Matrixnorm gilt. Oder auch: Unter allen induzierten Matrixnormen findet sich wenigstens eine, die (die zweite, die erste ist trivial) Ungleichung erfüllt.--LutzL 18:44, 22. Jan. 2008 (CET)

So, geändert. Die interessantere Frage ist, inwiefern in diesem Artikel Eigenschaften der Spektralnorm und des Spektralradius durcheinandergeworfen werden. Sprich: Ein paar mehr Beweisandeutungen wären ganz nett.--LutzL 18:50, 22. Jan. 2008 (CET)