Diskussion:Residuensatz

In dem Artikel wird kaum klar, was der Residuensatz eigentlich ist, der Aufbau ist viel zu lehrbuchhaft. --DaTroll 23:28, 17. Jul 2005 (CEST)

Ich hab das ganze mal ein bißchen prägnanter formuliert. Vielleicht sollte man für das Residuum einen eigenen Artikel aufmachen und dafür den Residuenkalkül entfernen? Wenn ich Zeit habe, verliere ich noch ein paar Worte über die praktische Berechnung von Residuen, sowie den tatsächlichen Konsequenzen aus dem Residuensatz, sofern dies erwünscht ist. --Horrorist 16:25, 10. Sep 2005 (CEST)

Ein eigener Artikel ist sicherlich sinnvoll, man kann auch aus algebraischer Sicht noch einiges zu Residuen sagen.--Gunther 16:31, 10. Sep 2005 (CEST)

In neuen Artikel Residuum (Funktionentheorie) verschoben. --Horrorist 18:47, 12. Sep 2005 (CEST)

Das sieht ja schonmal gut aus. Der Text hier drunter kann dann gelöscht werden? Kannst Du dann die Abschnitte zum Residuum in diesem Artikel noch auf ein handliches Maß zusammenschrumpfen? --DaTroll 19:20, 12. Sep 2005 (CEST)

Den Text zum Residuensatz würde ich hier noch stehen lassen, bis ich den Artikel überarbeitet habe. Ich habe vor, was dort noch über Residuum, Windungszahl und Laurententwicklung steht, in die entsprechenden Artikel auszulagern, falls es dort nicht sowieso schon vorhanden ist. --Horrorist 20:15, 12. Sep 2005 (CEST)

Meiner Meinung nach könnte man nun den Inhalt im Artikel komplett durch das, was hier steht, ersetzen, denn alles, was dort vorher stand sollte jetzt auf separaten Seiten liegen oder hier sein. Und ja, ich weiß dass das Beispiel ziemlich witzlos ist, also bitte keine Kommentare dazu. --Horrorist 13:04, 25. Sep 2005 (CEST)

Dann sag' ich halt nicht, dass ich das Beispiel gut finde ;-) --Gunther 13:24, 25. Sep 2005 (CEST)

Es wäre aber nicht schlecht, noch kurz zu erklären, warum das Integral entlang $\alpha$ gegen null geht.--Gunther 13:27, 25. Sep 2005 (CEST)

Das war hier steht, gefällt mir insbesondere von der Gliederung her deutlich besser. Allerdings würde ich den aktuellen Artikel nicht komplett ersetzen, sondern beispielsweise die Einleitung behalten und auch einige der Bilder. Die Fassung hier könnte auch an einigen Stellen ein erklärendes Wort mehr vertragen, aber das ist Kosmetik. --DaTroll 13:29, 25. Sep 2005 (CEST)

Die Einleitung wollte ich nicht antasten, aber die Bilder betreffen ja mehr die Windungszahl. Wenn ich mal richtig Zeit habe, gehe ich über das ganze Ding mal drüber und poliers kräftig auf. Vielleich pack' ich mal 'nen Skalar vor das Beispiel, dann wird's prickelnder. --Horrorist 13:50, 25. Sep 2005 (CEST)

Ich denke, der wesentliche Punkt wird deutlich, nämlich dass gewissermaßen das Verhalten in einem Punkt den Wert eines Integral "ganz woanders" bestimmt.--Gunther 14:02, 25. Sep 2005 (CEST)

Der erste Abschnitt hat für mein Gefühl wenig mit dem Residuensatz zu tun, das würde ich eher bei der Definition des Residuums oder dem cauchyschen Integralsatz unterbringen. Wenn schon hier, dann sollte der Residuensatz an erster Stelle stehen und der jetzige erste Abschnitt unter der Überschrift "Motivation" oder "Beweisskizze".--Gunther 18:43, 15. Sep 2005 (CEST)

Zweiter Versuch: habe das hier jetzt ein bisschen ausführlicher gemacht und würde es gerne in den Artikel verfrachten, bis auf "Null- und Polstellen zählendes Integral", das gehört wohl eher irgendwo anders hin. --Horrorist 17:49, 2. Okt 2005 (CEST)

Habe bei gebrochenrationale Funktionen ein weiteres Residuum hinzugefügt (bei -i) und das Ergebnis verändert. Korrigiert mich, wenn es falsch ist bitte; ist mein erstes Eingreifen ins Wiki. --JJ

Man nimmt hier nur die Residuen in der oberen Halbebene, da man über einen geschlossen Halbkreis (längs der Re-Achse und dann durch H) integriert. Dass da nicht 0 rauskommen kann sollte allerdings vorher schon klar sein, denn arctan ist eine Stammfunktion vom Integrand. --Horrorist 21:04, 2. Aug 2006 (CEST)

Satz: Argumentation, warum die Summe auf der RS endlich ist

Ich finde die Argumentation hakt. Die Summe muss endlich sein, da stimme ich mit den Autoren überein. In manchen Lehrbüchern wird vorausgesetzt, dass D_f nicht diskret, sondern selbst schon endlich sein muss, damit ist das Problem umgangen und die Summe, die nur über D_f läuft, bleibt endlich. Allerdings könnte man allgemeiner tatsächlich annehmen, dass D_f nur diskret sein muss (d.h. nicht unbedingt endlich) Wenn jetzt noch Int(\Gamma) \schnitt D_f unendlich ist, ist die Summe unendlich lang und u.U. nicht mehr konvergent. Aber das kann man vielleicht wegdiskutieren. (Wenn wir mal annehmen, dass immer noch unendlich viele 'echte' Singularitäten übrigbleiben in der Summe; die hebbaren haben ja Res = 0). Es hilft vielleicht der Identitätssatz weiter, denn wegen der relativen Kompaktheit von Int(\Gamma) hat D_f einen Häufungspunkt in Int(\Gamma) \schnitt D_f (Bolzano Weierstrass, wenn ich mich nicht irre..) Hier bin ich mir nicht mehr so sicher, aber wäre dann nach dem Identitätssatz f nicht f==0 oder f==\inf ? oder müssen dafür die Punkte und der Häufungspunkt der Folge ganz im holomorphen Bereich liegen?

Bevor ich an dem Artikel rumfummele würde ich gerne erst die Meinung eines anderen dazu lesen. Danke, CE

Welches der Argumente im Artikel zweifelst Du denn an?--Gunther 14:59, 27. Sep 2006 (CEST)

Nunja, ich hatte meine Probleme mit dem Wort 'diskret'.. Hab aber jetzt bei Busam/Freitag genau diese Version des Satzes gefunden und will den Autoren mal zugute halten, dass sie wissen was sie schreiben, auch wenn ich den Beweis noch nicht in den Details durchgearbeitet habe. dachte nur: diskret -> u.U. unendlich -> auf Kompakta existiert Häufungspunkt -> Problem mit Konvergenz der Summe über die Residuen. Aber ich denke das Problem ist gelöst (erstmal durch Hinweis auf Literatur :) ) -CE

diskret + kompakt ⇒ endlich --Gunther 16:07, 6. Okt 2006 (CEST)

fehlende Voraussetzung: $D$ Elementargebiet

Der Residensatz ist so wie angegeben falsch. Anstelle von $D\subseteq \mathbb {C}$ Gebiet muss korrekterweise Elementargebiet gefordert werden, so steht es auch in Freitag/Busam.

Simples Gegenbeispiel: $D=\mathbb {C} -\{0\}$, $f(z)=1/z$, $D_{f}=\varnothing$. Offenbar $f$ holomorph auf $D-D_{f}$ und ${\frac {1}{2\pi i}}\int _{S^{1}}f=1$, aber $\sum _{a\in D_{f}}...=0$.

Dass es ohne Voraussetzung Elementargebiet nicht klappt sieht man auch dem Beweis sofort an, denn hier bildet man ja $g(z):=f(z)-\sum h_{i}({\tfrac {1}{z-z_{i}}})$ (hier $h_{i}$ Hauptteile), stellt fest, dass dies holomorph auf $D$ ist und dass deswegen das Integral $\int _{\Gamma }g=0$ verschwindet. In diesem Schritt steckt die Voraussetzung Elementargebiet. --Felixlen (Diskussion) 11:05, 4. Jul. 2013 (CEST)

So wie es dort steht, ist die aussage schon richtig. Die Forderung, dass $\Gamma$ ein nullhomologer Zyklus ist, stellt nämlich sicher, dass die Kurve, entlang der man integriert, zusammenziehbar ist, sich also in ihrem Inneren keine Löcher befinden. "Allgemeinverständlich" ist diese Formulierung allerdings für den Einsteiger in die Funktionentheorie ohne weitere Kenntnisse der Topologie nicht! Ich werde es mal versuchen es umzuformulieren und den Begriff nullhomolog zu vermeiden.--Christian1985 (Disk) 11:31, 4. Jul. 2013 (CEST)

Ah, okey. In der Tat. Da hatte ich nicht aufmerksam genug gelesen. --Felixlen (Diskussion) 11:37, 4. Jul. 2013 (CEST)

Stil

• Die Formulierung Der Residuensatz ist ein wichtiger Satz der Funktionentheorie, eines Teilgebietes der Mathematik. mag mit der Intention, eine harmlose und allgemeinverständliche Einführung zu bieten, geschrieben worden sein, aber er wirkt wie ein Schulbuchsatz für die 5. Klasse. Wörter wie "wichtig", "weitreichend", "erheblich" etc. können immer ersatzlos gestrichen werden. Von der Bedeutung eines Satzes kann sich jeder selbst ein Bild machen, es ist also entbehrlich, die Wichtigkeit zu proklamieren.
• Anstelle eines Kurvenintegrals muss man also nur Residuen und Windungszahlen berechnen, was in vielen Fällen einfacher ist. Auf den Satz kann man verzichten, denn er sagt nichts anderes aus als der vorhergehende. Was sind "viele Fälle"?
• Vielleicht kann man den Abschnitt "Praktische Anwendung" in "Anwendungsbeispiel" umbenennen, denn unter "praktisch" verstehen viele Menschen etwas anderes (viele halten Experimentalphysik für zu theoretisch ...).
• Im Abschnitt Der Residuensatz für riemannsche Flächen hat Bernhard Riemann es verdient, daß sein Name groß geschrieben wird, auch wenn Namen neuerdings wie Adjektive behandelt werden.
• Der Residuensatz lässt sich auf kompakte riemannsche Flächen S verallgemeinern. Für eine meromorphe 1-Form auf einer solchen Fläche S gilt, dass die Summe der Residuen gleich null ist. Ich glaube, man kann ohne Informationsverlust darauf verzichten, die Fläche S zu nennen, denn mit dem S geschieht nichts weiter. (nicht signierter Beitrag von 91.66.65.205 (Diskussion) 10:43, 20. Aug. 2015 (CEST))

Zu allen oben angeführten Punkten, außer dem Punkt der Großschreibung des Namens vielleicht, möchte ich dagegen halten und fände es gut, wenn noch mehr Beschreibungen, Erklärungen und vor allem auch Beispiele eingebracht werden. Wikipedia ist doch (vor allem) für Leute gemacht, die sich mit der Materie noch nicht auskennen. Oft sind Artikel auf Wikipedia derart lehrbuchhaft (speziell Artikel der Mathematik), dass man als Einsteiger mit einer zu hohen Hürde konfrontiert ist. Für Techniker zählen Beispiele, nicht Beweise. Es sollte halt beides vorhanden sein. Eins noch zu dem angeprangerten Satz über die Berechnung der Residuen und Windungszahlen, das war der erste den ich verstanden habe und der mich motiviert hat weiter zu lesen ;) (nicht signierter Beitrag von 81.217.2.230 (Diskussion) 16:58, 4. Jun. 2016 (CEST))

Beispiel "Gebrochenrationale Funktionen mit Exponentialfunktion"

Im Beispiel "Gebrochenrationale Funktionen mit Exponentialfunktion" kommt der Halbkreis aus dem vorangegangenen Beispiel im Integrationsweg vor. Der hat hier aber nichts zu suchen und ist wahrscheinlich mittels Copy/Paste hierhingelangt. Das macht die Anwendung des Residuensatzes unklar, denn längs $\Gamma$ wird hier nichts integriert oder abgeschätzt.--FerdiBf (Diskussion) 15:00, 5. Mai 2019 (CEST)

Es gibt nichts Gutes, außer man tut es. Ich habe bei der Gelegenheit auch noch zwei Bilder hinzugefügt.--FerdiBf (Diskussion) 08:09, 8. Mai 2019 (CEST)