Diskussion:Lemniskatische Konstante

Bezeichnung $\varpi$ und seine Paläographie

Variantformen griechischer Buchstaben

Den folgenden Abschnitt hat ein annonymer Benutzer am 23.10.2008 mit einer dilettantischen Bemerkung assoziiert. Er sei daher zur allgemeinen Prüfung gestellt:

Häufig wird aufgrund typographischer Schwierigkeiten die lemniskatische Konstante in der Literatur fälschlich mit einem omega und Abwandlungen wie $\omega ,{\overline {\omega }},{\tilde {\omega }}$ bezeichnet. Das griechische Alphabet kennt jedoch analog zu den Minuskeln $\epsilon ,\varepsilon ;\rho ,\varrho ;\sigma ,\varsigma ;\theta ,\vartheta$ auch für pi zwei verschiedene Zeichen: $\pi ,\varpi$ (pi und varpi). Die Paläographie des Zeichens $\varpi$ ist bislang nur schwach untersucht, es tritt aber bereits in frühen griechischen Texten auf.

Gauß hat bewusst kein omega $\omega$ gewählt, sondern ein varpi $\varpi$, um an die Analogie zum Kreis mit seinem halben Umfang

$\pi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {1-t^{2}}}}$

zu erinnern. Den Ursprung dieser Bezeichnung bei Gauß hat vermutlich zuerst Ludwig Schlesinger aufgeklärt: Zunächst verwendet Gauß zur Bezeichnung der lemniskatischen Periode das Zeichen $\Pi$ und ab Juli 1798 verwendet er für diese Größe konsequent ${\frac {\varpi }{2}}$. --Skraemer 21:36, 23. Okt. 2008 (CEST)

varpi ist nicht der name des buchstabens, sondern sein tex-code. analog zu $\sigma ,\varsigma$: du hast offensichtlich keine ahnung.--80.136.134.153 11:13, 25. Okt. 2008 (CEST)

Naja, ich hatte eher einen substantiellen Beitrag erwartet.
Es ist nicht behauptet worden, dass varpi der Name der Schreibform-Variante $\varpi$ des griechischen Buchstabens Pi ist. Natürlich bezieht sich varpi auf die TeX-Notation. Rennomierte Verlage wie Birkhäuser, Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig KG, etc. geben dieses Zeichen falsch und wiederholt als $\omega$ wieder. Bereits Paul Stäckel, Friedrich Engel und Ludwig Schlesinger weisen in ihren Briefwechseln deutlich darauf hin, dass es sich bei diesem Zeichen nicht um ein $\omega \$ sondern um ein $\varpi$ handelt. Alexei Iwanowitsch Markuschewitsch schreibt in dem bekannten Gauß-Gedenkband (Teubner 1957, S.155):

„Das Zeichen $\varpi$ wurde in den Büchern des 18.Jh. zur Bezeichnung von $\pi \$ verwendet. Durch den Gebrauch dieses Zeichens betont Gauss die Analogie zwischen Lemniskate und Kreis.“

--Skraemer 18:31, 25. Okt. 2008 (CEST)

Niels Nielsen

Gibt es eine Referenz/Quelle zu der Darstellungsformel von Niels Nielsen? Ich habe den Ausdruck mal mit Maple ausgewertet, und die Zahl weicht sehr stark von den anderen Darstellungen ab. Ist es vielleicht ein Tippfehler? --FloxCauchy 15:59, 11. Nov. 2008 (CET)

Oh, herzlichen Dank! Vor der $\varpi$ fehlte der log. Habe als Quelle den Nielsen prazisiert, dort ist aber ein andere Druckfehler den ich gleich korrigiert habe. Hier nochmal eine Maple-Sequenz zum prüfen:

evalf(log(2*int(1/sqrt(1-t^4),t=0..1)),40);

evalf(gamma/2 - log(2)/2 + log(Pi) - 2/Pi*sum((-1)^(k+1)*log(2*k+1)/(2*k+1),k=1..infinity),40);

Der Beweis ist übrigens nicht schwierig, es folgt direkt aus der Kummerschen Reihe (Fourierreihe) von $\log \Gamma (x)$ und $\varpi ={\tfrac {1}{2}}B({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})$. --Skraemer 17:09, 11. Nov. 2008 (CET)