Diskussion:Legendre-Transformation

Letzter Kommentar: vor 7 Jahren von McGucket in Abschnitt Anforderungen an f {\displaystyle f}

Ich meine, dieser Artikel sollte etwas ausführlicher werden. Das Konzept der unabhängigen Variable ist mathematisch unklar (man hört das allerdings oft in Physikvorlesungen). Der Begriff Berührungstrafo sollte durch Kontakttrafo ersetzt werden.

Ich werde das morgen mal angehen, wenn es keine Gegenstimmen gibt.--CWitte 12:10, 25. Okt 2004 (CEST)

stimme zu

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ich finde auch dass hier etwas ausführlicher auf die Transformation an sich eingegangen werden sollte. Ist für die klassische Mechanik sehr wichtig und deshalb würd ich endlich gerne verstehen, aber was soll man machen......paucken!

Außerdem wurde nicht ein Wort darüber verlohren, für welche Funktionen dies alles funktioniert. Sind das nicht nur die streng monotonen??

Nein streng konvexe (siehe Abschnitt "zweites Argument verwirrt nur").TN 16:29, 19. Nov. 2006 (CET)Beantworten
Warum nur konvexe? Wie wär's mit wendestellenfrei?
Natürlich gehen auch konkave. Das ist ja nur ein Vorzeichenwechsel. Aber einer der beiden Fälle sollte schon vorliegen, sonst funktioniert die Berührungstrafo nicht. Auf einem Intervall def., zweimal diff'bar und wendepunktfrei ist dann sowas. --TN 12:38, 2. Mär. 2007 (CET)Beantworten

unverständlich

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nicht mal der erste satz sagt dem laien um was es hier geht.--Hamburger Hydra 15:40, 5. Mai 2006 (CEST)Beantworten

Ich stimme zu!

Zweites Argument verwirrt nur

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Das zweite Argument   in der derzeitigen Definition der Legendre-Transformation verwirrt nur. Die einfachste Version ist meiner Ansicht nach:

Die Legendre-Transformation   ordnet jeder

  • zweimal stetig diff'baren
  • auf einem reellen Intervall   definierten
  • streng konvexen

Funktion   eine Funktion   der gleichen Art wie folgt zu:

  1. Der Definitionsbereich   von   ist das volle Bild der Ableitung   von  .
  2. Die definierenden Gleichungen für   sind:
 

Die dabei auftretende Hilfsvariable   ist durch   und die zweite Gleichung eindeutig bestimmt. Man könnte auch   schreiben. In den meisten Anwendungen ist jedoch die in der Definition gegebene Form üblicher und übersichtlicher.

Wichtige Eigenschaft:   ist involutorisch ( ). Damit gilt

 

Geometrische Interpretation: Interpretiert man   als durch   parametrisierte Geradenschar, so ist   die Envelope dieser Geradenschar. Aus diesem Grund bezeichnet man die Legendre-Transformation auch als eine Berührungstransformation.

--TN

Version in Anlehnung an V.I.Arnold: Gewöhnliche DGL'n

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Ich habe jetzt in dem Buch [V.I. Arnold: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Springer-Verlag Berlin] eine schöne geometrische Einführung der Legendre-Transformation entdeckt. Diese eignet sich, denke ich, sehr gut für das Wiki. Im Folgenden gebe ich das sinngemäß mit einer kleinen Änderung wieder. Arnold ist von einer Abbildung ausgegangen, die Geraden in Punkte abbildet, hier werden zuerst Punkte in Geraden abgebildet. Das ist jedoch auf Grund der Symmetrie der Legendre-Trafo aus meiner Sicht keine wesentliche Änderung. Ich denke, dass die hier vorgestellte Variante in didaktischer Hinsicht ein kleines bisschen günstiger ist.

Die Legendre-Transformation   bildet den   bijektiv auf die Menge   aller Geraden der  - -Ebene ab, die nicht parallel zur  -Achse verlaufen.

Genauer wird durch   jedem Punkt   die zugehörige Gerade   zugeordnet.

Durch das Minuszeichen ist die definierende Gleichung symmetrisch in den Variablen   und  . Das sieht man am besten, wenn man   mit auf die linke Seite bringt:  

Einem einzelnen Punkt   ordnet die Legendre-Transformation eine einzelne Gerade zu, einer ganzen Kurve   ordnet sie eine Geradenschar zu.

Die Einhüllende   der Geradenschar wird dann als Legendre-Transformierte   der Kurve bezeichnet. Die Punkte   dieser Einhüllenden ergeben sich aus dem Gleichungssystem

 

(die zweite Gleichung resultiert aus der Hüllkurven-Bedingung  ).

--TN

Beispiele

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Den Punkten der durch   definierten Kurve werden durch die Legendre-Transformation die Geraden

 

zugeordnet. Die Hüllkurve dieser durch   parametrisierten Geradenschar, also die Legendre-Transformierte von   ist mit   die Funktion

 

Die Legendre-Transformierte von   ist

 

Für dieses Beispiel bestätigt man also  .

--TN 00:35, 22. Jun 2006 (CEST)

Anwendungsgebiete für die Legendre-Transformation

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  • schon im Artikel erwähnt, hier nur der Vollständigkeit wiederholt: Transformation der Euler-Lagrange-Gleichungen 2. Art (DGL'n 2. Ordnung im Zustandsraum) in die Hamiltonschen Gleichungen (DGL'n 1.&nspc;Ordnung im Phasenraum)
  • Variablenwechsel beim Energiefunktional für die magnetische Energie

Einleitung falsch?

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Zitat: Der Wert von   kann alternativ als   geschrieben werden.

Ich dachte immer, es gälte   mit  

(Quelle: etwa http://www.mathematik.uni-kl.de/~bracke/teaching/HM_2/folien_0302.pdf)

Hab ich was übersehen, oder ist diese Behauptung an dieser Stelle falsch? --Xenoborg 17:06, 24. Jul 2006 (CEST)

Diese Behauptung ist in der Tat falsch. Die ganze "Herleitung" ist Humbug. Man lese den englischen Artikel, wenn man etwas Sinnvolles zum Thema erfahren will. --Theowoll 16:45, 27. Jul 2006 (CEST)

Bild

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Hello - The following images is availiable at the Commons

 
Why the dot and not a quote for the derivation? Think   would also do. The dot looks very much like a time-derivative. This could be misleading. TN 13:50, 23. Okt. 2006 (CEST)Beantworten
The quote is a superscript, and sometimes second derivatives are needed so you would have expressions like
  rather than  
Also, there are inverse functions so you would have expressions like
  and  
rather than
  and  
Isn't the dot more readable? PAR 22:23, 4. Nov. 2006 (CET)Beantworten
It's unusual and hence less readable. Use   oder   or something similar.--Gunther 22:40, 4. Nov. 2006 (CET)Beantworten

g als Funktion von u

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Folgende Gleichung erweckt für mich den Anschein, als ob g eine Funktion von x sei:

 .

sollte es nicht besser heißen:

 . mit einer neuen Funktion   und   gewonnen aus der inversion Abbildung zu  

Versucht man zu   die Transformierte   zu finden, kommt man nicht umhin   zu invertieren. Nur die zweite Variante weist in meinen Augen darauf hin.

mal g, mal F

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Hi Leute, findet ihr es auch störend, dass im 1-D Fall die Transformierte mit g und im allgemeinen Fall mit F bezeichnit wird? Wollen wir das nicht lieber vereinheitlichen?

Hough-Transformation

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Ich habe den Abschnitt zur geometrischen Interpretation gesehen. Was ich mich jetzt frage ist, ob man hier nicht parallelen zur Hough-Trafo sehen kann.

Dort werden beispielsweise punkte auf geraden abgebildet genauso geraden auf punkte...

ist nur eine idee - aber vielleicht passt es ja

mathematisch?

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"Welches Vorzeichen man wählen sollte, hängt von der physikalischen Bedeutung von g ab."

Bis zu diesem Satz findet die Physik keine einzige Erwähnung. Eher "von der mathematischen Fragestellung" o.Ä.? (nicht signierter Beitrag von Quabla (Diskussion | Beiträge) 22:22, 18. Jun. 2010 (CEST)) Beantworten

einfache Beispiele

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Nach Durchlesens des Artikels ist mir immer noch nicht klar, wie ich vorgehen soll, auch nur eine einfache Formel zu transfomieren. Hier könnte ein etwas höher Begabter doch einmal ein einfaches Beispiel einfügen, in der kompeltt mit Zwischenschritten bis zum Schluss durchtransformiert wird, am Besten mit einfachen Gleichungen à la y = 3 x^2 oder f(x) = a * x^b -- 79.239.243.24 14:46, 12. Aug. 2011 (CEST)Beantworten

Vorraussetzungen für Legendre-Trafo?!

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In dem Link zum Artikel erfährt man, dass die Funktion f erstmal einige Vorraussetzungen erfüllen muss: (1) The function (or its negative) is strictly convex (second derivative always positive) and smooth (existence of “enough” continuous derivatives). (2) It is easier to measure, control, or think about the derivative of F with respect to x than it is to measure or think about x itself. Sollte auch noch in den Artikel, oder?! (nicht signierter Beitrag von Catastropeia (Diskussion | Beiträge) 19:18, 18. Mär. 2014 (CET))Beantworten

Ableitungen sind inverse Operatoren

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Ich bin mit meinen Änderungen von gerade eben nicht glücklich, denn im Grunde steht diese Aussage schon weiter oben. Allerdings ist sie für meinen Geschmack zu wichtig, als dass man sie nur implizit durch "  ist die Umkehrfunktion von  " erwähnen dürfte. Beispielsweise ist das DIE Eigenschaft, die man bei der Transformation der inneren Energie in der Thermodynamik ausnutzt, um andere Energiebegriffe zu definieren -> Freie Energie, Gibbs-Energie, etc. .Verbesserungen zur Redundanzfreiheit sind willkommen! --Das O2 (Diskussion) 19:20, 25. Mai 2015 (CEST)Beantworten

Hat sich erledigt. Ich würde ja diesen Diskussionsbeitrag löschen, mir wurde mal gesagt, dass man das nicht machen darf. --Das O2 (Diskussion) 20:01, 26. Mai 2015 (CEST)Beantworten

Anforderungen an

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Es wird im Artikel nur gefordert, dass   diffbar und eine Abbildung aus den reellen Zahlen in die reellen Zahlen sein muss. Ich sehe nicht, wie es möglich sein soll, eine nicht-monotone Funktion zu transformieren, da deren Ableitung ja an 2 Stellen   mit   den gleichen Wert   haben kann, obwohl ihr Funktionswert ein anderer ist ( ),   aber funktional sein muss und somit nicht   sowohl auf   als auch auf   abbilden kann. Beispielfunktion:  

Außerdem sehe ich nicht, wie   für   definiert werden kann, da dann   gilt und nicht nach   umgestellt werden kann. (Siehe 3. Zeile des Beispiels im Artikel.)

PS: Kann man auf der deutschen Wikipedia ein richtiges Definitions-Symbol verwenden, oder nur mit einem ":=" im Mathe-Tag tricksen? "\coloneqq" funktioniert nämlich irgendwie nicht. McGucket (Diskussion) 14:09, 29. Mai 2017 (CEST)Beantworten