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Legendre-Transformation

differentiell approximierende Transformation

Die Legendre-Transformation (nach Adrien-Marie Legendre) gehört zu den Berührungstransformationen und dient als wichtiges mathematisches Verfahren zur Variablentransformation.

Eine Verallgemeinerung der Legendre-Transformation auf allgemeine Räume und nicht-konvexe Funktionen ist die Konvex-Konjugierte.

DefinitionBearbeiten

In einer VariablenBearbeiten

Sei   eine konvexe Funktion einer reellen Variablen. Die Legendre-Transformierte   ist dann definiert als

 

Dabei ist mit   das Supremum gemeint.

Für eine differenzierbare konvexe Funktion   mit invertierbarer erster Ableitung lässt sich das Supremum mit Mitteln aus der elementaren Analysis auswerten. Die Funktion   nimmt wegen der Konkavität von   an der (eindeutigen) Stelle, an der die Ableitung   ist, ein absolutes Maximum an. Daraus folgt, dass an der Stelle   das Supremum in   angenommen wird. Somit gilt:

 

In mehreren VariablenBearbeiten

Ähnlich wie in einer Dimension kann die Legendre-Transformation auch in höheren Dimensionen definiert werden. Sei   konvex und   eine konvexe Funktion. Dann ist die Legendre-Transformierte   mit Definitionsmenge   und Standardskalarprodukt   definiert als

 

Geometrische BedeutungBearbeiten

 
Anschauliche Darstellung der Legendre-Transformation

Geometrisch lässt sich der Sachverhalt wie in der Abbildung veranschaulichen: Die Kurve (rot) kann, statt die Punktmenge anzugeben, aus der sie besteht, auch durch die Menge aller Tangenten charakterisiert werden, die sie einhüllen. Genau das passiert bei der Legendre-Transformation. Die Transformierte   ordnet der Steigung   einer jeden Tangente deren y-Achsenabschnitt zu. Es ist also eine Beschreibung derselben Kurve – nur über einen anderen Parameter, nämlich   statt  .

BeispieleBearbeiten

  • Gegeben sei die Funktion  . Dann gilt  , also
 .
Als Legendre-Transformierte   von   ergibt sich damit
 .
  • Für die Exponentialfunktion   gilt  , also
 .
Als Legendre-Transformierte   von   ergibt sich damit
 
für  .
  • Gegeben sei eine symmetrische und positiv definite Matrix  . Dann ist die durch   definierte quadratische Form   mit   eine konvexe Funktion. Die durch   mit   definierte Funktion hat den Gradienten   und die negativ definite Hesse-Matrix  . Die Funktion   nimmt daher an der Stelle   ihr eindeutig bestimmtes globales Maximum an, d. h. für die Legendre-Transformierte   von   gilt
 .

Bei Abhängigkeit von mehreren VariablenBearbeiten

Die Änderung der Abhängigkeit einer Funktion   von einer unabhängigen Variablen   zu einer anderen   mittels einer partiellen Ableitung von   nach   ist:

 .

Hierbei stellt   geometrisch die Steigung in x-Richtung der Tangentenebene an die Funktion   dar. Daher spricht man von Berührungstransformation. Die Funktion   wird als Legendre-Transformierte bezüglich der Variablen   bezeichnet.

Die Legendre-Transformierte lässt sich wie folgt herleiten. Der Wert von   kann alternativ als

 

geschrieben werden. Definiert man nun  , erhält man für die Legendre-Transformierte

 .

Meistens wird   gewählt, und somit folgt

 .

Für letztere Definition ist die Legendre-Transformierte die  -Komponente des Schnittpunkts der Tangentenebene an   mit der Ebene  . Für Funktionen in der Ebene spricht man vom Achsenabschnitt (siehe auch Geradengleichung).

Praktisch erfolgt also der Austausch der unabhängigen Variablen durch Subtraktion des Produkts aus alter und neuer Variable   von der Ausgangsfunktion:

 .

Dies wird auch bei Betrachtung des totalen Differentials der Legendre-Transformierten deutlich:

 .

AnwendungsgebieteBearbeiten

Verwendung in der Physik findet die Legendre-Transformation vor allem in der (statistischen) Thermodynamik (z. B. Umwandlung der Fundamentalgleichung bzw. beim Übergang zwischen thermodynamischen Potentialen unter verschiedenen Randbedingungen) und beim Übergang von der Lagrangeschen zur Hamiltonschen Mechanik (Lagrange-Funktion zu Hamilton-Funktion). In der Thermodynamik verwendet man die untere Vorzeichenkonvention ( ).

Die Legendre-Transformation spielt – wie die Berührungstransformationen insgesamt – des Weiteren eine Rolle in der Mechanik, der Variationsrechnung und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen 1. Ordnung. In der Mechanik verwendet man die obere Vorzeichenkonvention ( ).

Beispiele von Anwendungen in der PhysikBearbeiten

In der analytischen Mechanik gewinnt man durch Legendre-Transformation aus der Lagrangefunktion die Hamiltonfunktion und umgekehrt:

 

In der Thermodynamik kann man durch Legendre-Transformation aus der Fundamentalgleichung der Thermodynamik die thermodynamischen Potentiale ableiten. Dabei findet beispielsweise ein Übergang von der inneren Energie   (abhängig von der Entropie  ) zur Helmholtz-Energie   (abhängig von der Temperatur  ) statt. Im Fall eines idealen Gases gilt also:

 .

Die hier verwendete Ableitungsnotation bedeutet Ableitung der Funktion   nach  , wobei   und   konstant gehalten werden.

Analog dazu ist auch ein Übergang von einem thermodynamischen Potential zu einem anderen möglich, beispielsweise von der Enthalpie   zur Gibbs-Energie  :

 .

Auf die gleiche Weise erhält man auch die anderen thermodynamischen Potentiale, wobei durch eine Legendre-Transformation immer eine generalisierte Koordinate durch die konjugierte thermodynamische Kraft ersetzt wird.

WeblinksBearbeiten