Diskussion:Hyperbolischer Raum

Axiomatischer Zugang?

Der axiomatische Zugang zur Struktur der hyperbolischen Räume wird in dem vorliegenden Artikel vernachlässigt. Es stellt sich hier das gleiche Auffassungsproblem, welches schon in der Diskussion zum Artikel Beltrami-Klein-Modell anklang. Mit dem vorliegenden Artikel wird suggeriert , dass ein hyperbolischer Raum per se in die Differentialgeometrie gehört. Diese Auffassung ist nach Quellenlage zu eng. Man betrachtet hyperbolische Räume sehr wohl und schon lange auch außerhalb der Differentialgeometrie, und zwar oft gerade in Hinblick auf die Axiomatik. Eine klassische Arbeit ist hier etwa die Neue Begründung der Bolyai-Lobatschefskyschen Geometrie von David Hilbert in den Mathematischen Annalen von 1903 (welche übrigens dann auch als Anhang III seiner Grundlagen der Geometrie (Teubner 1956, S. 159 - 177) erscheint). Die endliche Geometrie kennt ebenfalls hyperbolische Räume (siehe etwa Heinz-Richard Halder / Werner Heise, Einführung in die Kombinatorik, Carl Hanser Verlag, München 1976, S. 235 - 236. Schojoha (Diskussion) 21:15, 26. Jan. 2013 (CET)

Im Abschnitt "Historie" (unter "Modelle) wird ja durchaus erwähnt, dass Lobatschewski bereits die meisten Formeln der hyperbolischen Geometrie nur aus den Axiomen hergeleitet hatte, ohne ein differentialgeometrieches Modell für Berechnungen zur Verfügung zu haben. Es gibt aber m.W. keinen Beweis für die Existenz des hyperbolischen Raumes, der ohne die konkreten aus der Differentialgeometrie kommenden Modelle auskommt. (Oder?) Insofern ist es doch wohl der beste Zugang, ausgehend von der konkreten Realisierung die Eigenschaften zu beschreiben, auch wenn das nicht der historischen Entwicklung entspricht, in der die Axiome und die daraus folgenden Eigenschaften vorher (vor dem Modell) da waren. --Suhagja (Diskussion) 13:28, 9. Mär. 2013 (CET)

Was die endlichen hyperbolischen Räume betrifft, so gehören die wohl in den letzten Absatz über andere Verwendungen des Begriffs. Im Artikel über hyperbolische Ebenen wurde die endliche Version ja bereits erwähnt. --Suhagja (Diskussion) 13:28, 9. Mär. 2013 (CET)

Isometrien

Die Isometrien des hyperbolischen Raumes sind laut meinem Vorlesungsskript $O^{+}(n,1)$, das ist die Gruppe $O(n,1)$ mit der Einschränkung, dass der letzte Eintrag in der letzten Zeile positiv ist.

Hintergrund: Ein Modell für den hyperbolischen Raum ist das Hyperboloid-Modell, hierauf operiert $O^{+}(n,1)$ per Vektor-Matrizenmultiplikation. Ist der Eintrag unten rechts negativ, so fällt die obere Schale in die untere Schale. Das wollen wir nicht! Wenns da keine Gegenstimmen gibt, änder ich das mal in ein paar Tagen. (nicht signierter Beitrag von 2A00:1398:5:FC01:A60:6EFF:FE6B:80C6 (Diskussion | Beiträge) 14:22, 19. Aug. 2014 (CEST))

Super wäre es, wenn du noch einen Beleg aus einem Buch angeben könntest. Und bitte signiere deine Diskussions-Beiträge immer mit --~~~~ bzw. mit dem entsprechenden Button aus der Werzeugleiste. --Digamma (Diskussion) 12:23, 20. Aug. 2014 (CEST)

Ich schließe mich Digamma vollständig an. Mehr noch meine ich, es wäre gewissermaßen hypersuper, wenn ein paar Erläuterungen hinzugefügt wären. Die Frage, ob es Gegenstimmen gebe, ist erst dann sinnvoll zu beantworten, wenn klar wird, was eigentlich geändert werden soll.

Zudem halte ich eine Aussage wie <Das wollen wir nicht!> für unangebracht. Wer was will, ist im Rahmen von Wikipedia herzlich uninteressant.

--Schojoha (Diskussion) 16:13, 22. Aug. 2014 (CEST)

Gemeint ist vermutlich der Satz "Die Gruppe der Isometrien des $\mathbb {H} ^{n}$ ist isomorph zu $O(n,1)$.", der letzte Satz im Abschnitt Hyperbolischer Raum#Isometrien. Hier soll wohl das $O$ durch $O^{+}$ ersetzt werden. --Digamma (Diskussion) 20:22, 22. Aug. 2014 (CEST)

Die IP hatte schon recht. Ich habe das jetzt geändert, ein Problem bleibt natürlich, dass die Begriffe O(n,1) und O^+(n,1) im Artikel nicht erklärt oder verlinkt werden. Ich denke, dass es zu weit führen würde, diese Gruppen im Artikel auch noch zu definieren. Besser wären eigene Artikel, die man dann verlinken kann.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 11:45, 24. Aug. 2014 (CEST)

Hat das Ding einen Namen? Ich hätte spontan "Lorentzgruppe" gesagt, aber unter Lorentzgruppe steht nur die O(3,1), ohne dass sie so genannt wird. --Digamma (Diskussion) 13:29, 24. Aug. 2014 (CEST)

Bei Halupczok heißt die Gruppe "Verallgemeinerte Lorentz-Gruppe", allerdings ist das der einzige Google-Treffer zu dieser Bezeichnung. Man kann den Artikel aber auch einfach O(n,1) nennen.--Kamsa Hapnida (Diskussion) 16:28, 24. Aug. 2014 (CEST)