Diskussion:Algebra (Mengensystem)

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Frage zum 3. Punkt bei Eigenschaften

Hallo!

Beim Dritten Punkt im Abschnitt Eigenschaften kann etwas nicht ganz stimmen. Was soll damit gemeint sein?

$\bigcup \emptyset =\emptyset \in {\mathcal {A}}$ und $\bigcap \emptyset =\Omega \in {\mathcal {A}}.$

Meine Fragen:

• Die Vereinigung der leeren Menge ist immer die leere Menge und ist per Definition immer in ${\mathcal {A}}$ enthalten (siehe Eigenschaft 1). Was soll also mit dem ersten Teil ausgesagt werden?
• Warum soll die Schnittmenge über (beliebig viele) leeren Mengen plötzlich $\Omega$ sein? Das wäre nur der Fall, wenn $\Omega =\emptyset$ wäre, und das wird nirgendwo behauptet oder vorausgesetzt und macht auch keinen Sinn. Dass $\Omega$ wieder Element von ${\mathcal {A}}$ ist, geht wieder aus Eigenschaft 1 hervor und braucht deshalb nicht hier wiederholt werden.

Was soll also damit ausgesagt werden?

-- Siegmaralber 09:51, 10. Dez. 2010 (CET)

Eine endliche Vereinigung bzw. ein endlicher Durchschnitt von Elementen der Mengenalgebra kann auch aus $0$ Elementen bestehen: $\bigcup \emptyset$ bzw. $\bigcap \emptyset .$ Und wegen Eigenschaft 1 – die eine (allerdings einfache) Folgerung aus der Definition ist, also nicht ausdrücklich in der Definiton steht – sind diese in ${\mathcal {A}}$ enthalten. Hier werden also keine leeren Mengen vereinigt oder geschnitten, sondern jeweils ein leeres Mengensystem, dass eine endliche Teilmenge von ${\mathcal {A}}$ ist. Du hast nämlich $\bigcup \emptyset$ und $\bigcap \emptyset$ als $\bigcup \{\emptyset \}$ und $\bigcap \{\emptyset \}$ interpretiert. Lies dir bitte die Definitionen der Vereinigung und des Durchschnitts durch, dann verstehst du auch die Bedeutung von $\bigcup \emptyset$ und $\bigcap \emptyset .$ --RPI 18:58, 12. Jan. 2011 (CET)

So ist es noch nicht beantwortet. Es wird auf die Definition $\bigcap U$ verwiesen, wobei $U$ ausdrücklich als nichtleere Menge von Mengen vorausgesetzt ist.--Sigma^2 (Diskussion) 11:45, 26. Nov. 2023 (CET)

Produkte von Algebren

Der Unterabschnitt enthält eine Unklarheit im Satz: „Definiert man das Produkt von zwei Mengensystemen jedoch als

${\mathcal {M}}_{1}\boxtimes {\mathcal {M}}_{2}:={\Biggl \{}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\times B_{i}\,|\,A_{i}\in {\mathcal {M}}_{1},B_{i}\in {\mathcal {M}}_{2}{\Biggl \}}$,

so ist das Produkt zweier Algebren wieder eine Algebra.“ Die Definition sagt nichts zu $n$. Für $n=1$ gilt ${\mathcal {M}}_{1}\boxtimes {\mathcal {M}}_{2}={\mathcal {M}}_{1}\times {\mathcal {M}}_{2}$. Was ist gemeint? Vielleicht dieses?

${\mathcal {M}}_{1}\boxtimes {\mathcal {M}}_{2}:={\Biggl \{}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\times B_{i}\mid n\in \mathbb {N} ,A_{i}\in {\mathcal {M}}_{1},B_{i}\in {\mathcal {M}}_{2}{\Biggl \}}$

Oder dieses?

${\mathcal {M}}_{1}\boxtimes {\mathcal {M}}_{2}:={\Biggl \{}\bigcup _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\times B_{i}\mid A_{i}\in {\mathcal {M}}_{1},B_{i}\in {\mathcal {M}}_{2}{\Biggl \}}$

--Sigma^2 (Diskussion) 12:30, 15. Okt. 2022 (CEST)

Oder dieses?

${\mathcal {M}}_{1}\boxtimes {\mathcal {M}}_{2}:=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }{\Biggl \{}\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\times B_{i}\mid A_{i}\in {\mathcal {M}}_{1},B_{i}\in {\mathcal {M}}_{2}{\Biggl \}}$

Jedenfalls ist eine Klarstellung der Definition und ein Beleg erforderlich.

Im Artikel Produkt-σ-Algebra wird ${\mathcal {M}}_{1}\boxtimes {\mathcal {M}}_{2}$ unerklärt verwendet und auf diesen Artikel verwiesen.

--Sigma^2 (Diskussion) 11:26, 26. Nov. 2023 (CET)