Eine dünne Linse ist eine optische Linse, deren Dicke im Vergleich zu den Radien ihrer brechenden Oberflächen klein ist.

In der paraxialen Optik ist die dünne Linse ein Konzept, nach dem die endlich dicke reale Linse durch eine Ebene ersetzt wird. Die beiden Brechvorgänge eines Lichtstrahls an den Grenzflächen werden zu einem Brechvorgang an dieser Ebene zusammengefasst. Wenn die reale Linse einen symmetrischen Querschnitt hat (z. B. bikonvex oder bikonkav), so wird ihre Mittelebene zur brechenden Ebene. Ein Lichtstrahl, der auf den Mittelpunkt der Ebene trifft, geht mit unveränderter Richtung und ohne Parallelversatz durch die Linse hindurch.

Das Konzept der dünnen Linse ist eine Idealisierung der endlich dicken realen Linse und eine gute Näherung bei großen Radien ihrer Grenzflächen und damit auch großer Brennweite. Die formale Reduktion auf eine Ebene bedeutet nicht, dass die Linse keinen Brechungsindex oder keine gekrümmten Grenzflächen hat, denn von beidem hängt ihre Brennweite ab. Zur Beschreibung des Verhaltens der dünnen Linse genügt aber ihre Brennweite.

Optische Abbildung mittels einer dünnen LinseBearbeiten

 
Abbildung 1: Eine bikonvexe dünne Linse

Die zwei Hauptebenen   und   eines allgemeinen optischen Systems fallen bei der dünnen Linse in ihrer Ersatzebene (Mittelebene) zusammen. Die dünne Linse hat nur eine Hauptebene  . Beide Brennweiten   und   werden von der Hauptebene   aus gemessen. Die strahlenoptische Konstruktion der optischen Abbildung ist etwas einfacher und geschieht wie folgt.

Der Bildpunkt B’ wird mit Hilfe von zwei der drei Hauptstrahlen Parallelstrahl (1), Mittelpunktstrahl (3) oder Brennpunktstrahl (2) (in Abbildung 1 von oben nach unten, Nummerierung bezieht sich auf Abbildung 2), die vom Gegenstandspunkt B ausgehen, gefunden. Die Strahlen werden nur einmal – nämlich an der Mittel/Haupt-Ebene – gebrochen (Strahl (3) bleibt ungebrochen). Der Parallelstrahl wird so gebrochen, dass er durch den bildseitigen Brennpunkt F’ geht. Der Brennpunktstrahl geht durch den gegenstandsseitigen Brennpunkt F und wird an der Mittelebene so gebrochen, dass er zum Parallelstrahl auf der Bildseite wird.

Theorie für dicke LinsenBearbeiten

 
Abbildung 2: Eine bikonvexe Linse mit Dicke  . Mit Hauptebenen   und   auf die sich die Brennweiten   und   beziehen. Von links kommende Strahlen (durchgezogene rote Linien) werden zweimal gebrochen, an jeder sphärisch gekrümmten Grenzfläche. Die Hauptebenen gehen durch den Schnittpunkt der Verlängerung des Parallelstrahls der einen Seite und der Verlängerung des Brennpunktstrahls der anderen Seite (gestrichelte Linien 1 und 3).
 
Abbildung 3: Zur Herleitung der Linsengleichung

Im Folgenden wird die Theorie der dicken Linse dargestellt und durch einen Grenzübergang zu einer dünnen Linse die Linsengleichung hergeleitet.

Eine (dicke) Linse besteht aus einem durchsichtigen Material mit Brechungsindex  . Die Linse bildet mit seiner Umgebung zwei Grenzflächen. Im Normalfall ist die Umgebung Luft und damit der Brechungsindex  . Ein Lichtstrahl von links kommend (siehe Abbildung 2) wird an jeder der beiden Grenzflächen gemäß dem Snelliusschen Brechungsgesetz gebrochen. Um die Brennweite einer Linse zu berechnen, werden die beiden Brechungen des Lichtstrahls sukzessive betrachtet.

Brechung an einer gekrümmten FlächeBearbeiten

Zuerst wird die Brechung des Lichtstrahls an der linken Grenzfläche betrachtet (Abbildung 3).

Rein geometrisch gilt

 

Für achsennahe Strahlen sind die Winkel   klein und es gilt näherungsweise   sowie  . Außerdem gilt  . Dadurch ergibt sich:

 

Mit dem Snelliusschen Brechungsgesetz   sowie   ergibt sich:

 

Die bildseitige Brennweite   einer gekrümmten Grenzfläche für achsennahe Strahlen hängt demnach nur von den Brechungsindizes der beiden Materialien und der Krümmung der Fläche ab. Stellt man sich nun vor, dass das Licht von rechts kommend, nach links läuft und dann gebrochen wird, so kann man obige Formel auch anwenden. Die Brechungsindizes in der Formel müssen nun vertauscht werden, da der Lichtstrahl aus dem Medium mit   kommend nach   läuft:

 

  wird gegenstandsseitige Brennweite genannt.

Es lässt sich nun auch eine Beziehung zwischen der Bildweite   und der Gegenstandsweite   herleiten.

Es gelten folgende Winkelbeziehungen:   sowie  . Daher gilt in der Kleinwinkelnäherung für das Snelliussche Brechungsgesetz:

 

Außerdem gilt:

 
 
 

Einsetzen in die Kleinwinkelnäherung des Snelliusschen Brechungsgesetzes, wobei alle Näherungen als Gleichungen behandelt werden, ergibt:

 

Die rechte Seite kann nun über die oben hergeleitete Brennweite ausgedrückt werden:

 

Brechung an einer dicken LinseBearbeiten

Die Brechung von achsennahen Strahlen an einer Linse entspricht zwei nacheinander erfolgenden Brechungen an gekrümmten Grenzflächen. Es wird angenommen, dass das Licht von links einfällt. Wenn es sich um eine Konvexlinse handelt (in oberer Abbildung gezeigt), dann ist der Krümmungsradius der 1. Grenzfläche positiv, der Krümmungsradius   der 2. Grenzfläche dagegen negativ. Bei einer Zerstreuungslinse (Konkavlinse) ist der Sachverhalt genau umgekehrt.

Für die zweite Brechung nimmt man das Bild der ersten Brechung als Gegenstand. Es ist   die Gegenstandsweite der 1. Brechung und   die Gegenstandsweite der 2. Brechung. Gleiche Vereinbarung gilt für die Bildweiten   und die Krümmungsradien  .

Für die Bildweite   nach der ersten Brechung gilt:

 

Nun setzt man die Bildweite   als Gegenstandsweite   in die Formel für die 2. Brechung ein:   mit   als Dicke der Linse (wie in der 1. Abbildung angegeben). Die Verschiebung um   muss durchgeführt werden, da die Herleitung oben davon ausgegangen ist, dass die gekrümmte Fläche durch den Ursprung geht. Natürlich müssen die Brechungsindizes wieder umgekehrt werden. Für die 2. Brechung gilt:

 

Einsetzen von   ergibt:

 

Addition der beiden Brechungen ergibt:

 
 

Dabei wird nun   von der linken Seite der Linse und   von der rechten Seite der Linse gemessen.

Näherung für dünne LinseBearbeiten

Man kann nun die Gegenstandsweite   und die Bildweite   für die gesamte Linse einführen:  ,  . Man bezeichnet eine Linse als dünn, wenn   und   gilt. Dadurch vereinfacht sich obige Formel zu:

 

Dies ist die wohlbekannte Linsengleichung und beschreibt die Abbildung achsennaher Strahlen mit einer dünnen Linse. Für achsenparallele Strahlen gilt   (der Gegenstand liegt im Unendlichen). Auf der Bildseite müssen nun die Strahlen durch den Brennpunkt gehen. Daher gilt für die Brennweite   einer dünnen Linse:

 

Für eine bikonvexe Linse mit   gilt:

 

Einsetzen in die Abbildungsgleichung   ergibt die Abbildungsgleichung dünner Linsen:

 

Im Endeffekt wurde nun auch die Linsenschleiferformel hergeleitet: