Der Chow-Test ist ein statistischer Test, mit dem sich die Koeffizienten zweier linearer Regressionen auf Gleichheit testen lassen. Der Test ist nach seinem Erfinder, dem Ökonomen Gregory Chow, benannt.

Der Chow-Test wird in der Ökonometrie verwendet, um Zeitreihen auf Strukturbrüche zu testen. Ein weiteres Anwendungsgebiet ist die Programmevaluation, hierbei werden zwei unterschiedliche Teilgruppen (Programme), wie zum Beispiel zwei Schultypen, miteinander verglichen. Im Gegensatz zur Zeitreihenanalyse lassen sich hier die beiden Teilgruppen keinen aufeinander folgenden Intervallen zuordnen, stattdessen erfolgt die Einteilung nach einem qualitativen Aspekt, wie zum Beispiel dem Schultyp.

Strukturbruch Programmevaluation

Chowtest4.svg

Chowtest8.svg

Bei liegt ein Strukturbruch vor, Regressionen auf den Teilintervallen und liefern eine bessere Modellierung als die Regression über dem Gesamtinterval (gestrichelt)

Vergleich zweier Programme (rot, grün) im selben Datensatz, separate Regressionen auf den zu einem Programm gehörigen Daten liefern eine bessere Modellierung als die Regression über den gesamten Datensatz (schwarz)

VorgehenBearbeiten

Gegeben ist ein Datensatz   mit   für  , dessen Beziehung durch eine lineare Funktion mit einem normalverteilten Fehler ( ) mit Erwartungswert 0 ( ) beschrieben wird (multiple Regressionsanalyse), d. h. man hat

  für  .

Man vermutet jedoch, dass sich der Datensatz in zwei Gruppen der Größen   und   aufteilen lässt, die durch zwei unterschiedliche lineare Funktionen besser beschrieben werden.

  für  
  für  

Hierbei ist   und es wird die Hypothese   gegen   getestet. Bezeichnet man die Summe der quadrierten Residuen der Regression über den gesamten Datensatz mit   und über die beiden Teilgruppen mit   und  , dann folgt die unten definierte Testgröße   einer F-Verteilung mit den Freiheitsgraden   und  .

 

BeispielBearbeiten

Gegeben ist der folgende Datensatz, dessen Beziehung durch die lineare Funktion   modelliert werden soll:

  0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 6,0
  −0,043 0,435 0,149 0,252 0,571 0,555 0,678 3,119 2,715 3,671 3,928 3,962
 
Der Datenplot legt einen Strukturbruch bei   nahe.

Ein Datenplot lässt vermuten, dass bei   ein Strukturbruch vorliegt, daher teilt man den Datensatz in 2 Intervalle   und   ein und führt über diesen, zusätzlich zur Regression über den gesamten Datensatz, getrennte Regressionen durch. Dann testet man, ob die beiden Teilregressionen dieselbe lineare Funktion erzeugen, also   gegen  

Regression auf dem gesamten Datensatz:

   
   
   

Regression auf  

   
   
   
 
Datenplot mit Regressionsgeraden

Regression auf  

   
   
   

Berechnung der Testgröße:

 

Wegen    (Signifikanzniveau  ) gilt   . Somit kann die Nullhypothese   verworfen werden. Das heißt, die beiden Regressionsgeraden auf den Teilintervallen sind nicht identisch. Es liegt also ein Strukturbruch vor und die Teilregressionen liefern eine bessere Modellierung als die Regression über den gesamten Datensatz.

LiteraturBearbeiten

WeblinksBearbeiten

Commons: Chow test – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien