Bethe-Sommerfeld-Vermutung

mathematische Vermutung

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist eine mathematische Vermutung aus der Spektraltheorie der Schrödinger-Operatoren, welche sagt, dass die Anzahl der Lücken im Spektrum eines Schrödinger-Operators mit periodischem Potential in Dimension endlich ist. Für ein Potential, welches gewisse Glattheitsbedingungen erfüllt, wurde die Vermutung 2008 von Leonid Parnowski bewiesen.

Die Bethe-Sommerfeld-Vermutung ist nach den deutschen Physikern Arnold Sommerfeld und Hans Bethe benannt.

Vermutung

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Sei   ein periodisches, reelles Potential und   der Laplace-Operator.

Die Anzahl Lücken im Spektrum des Schrödinger-Operators

 

ist für   endlich.[1]

Resultate

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Literatur

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  • Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508, arxiv:0801.3096 [abs].

Einzelnachweise

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  1. Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508.
  2. V.N. Popov und M. Skriganov: A remark on the spectral structure of the two dimensional Schrödinger operator with a periodic potential. In: Zap. Nauchn. Sem. LOMI AN SSSR. Band 109, 1981, S. 131–133 (russisch).
  3. M. Skriganov: Geometrical and arithmetical methods in the spectral theory of the multi-dimensional periodic operators, Proc. Steklov Math. Inst. Vol. 171.
  4. Maxim Mikhailovich Skriganov: The spectrum band structure of the three-dimensional Schrödinger operator with periodic potential. In: Inv. Math. Band 80, 1985, S. 107–121.
  5. Bernard Helffer, Abderemane Mohamed: Asymptotics of the density of states for the Schrödinger operator with periodic electric potential. In: Duke Math. J. Band 92, 1998, S. 1–60.
  6. Leonid Parnovski: Bethe–Sommerfeld conjecture. In: Ann. Henri Poincaré. Band 9, 2008, S. 457–508, arxiv:0801.3096 [abs].