HerrLemke

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siehe auch: Alternativartikel_Umtauschparadoxon

Indifferenzprinzip und Druckmaschine

Ich glaube, dass es für die Druckmaschine schwer wird, den Angriff auf das Indifferenzprinzip schadlos zu überstehen. Wir haben es jetzt mit mehreren nacheinander ausgeführten Zufallsexperimenten zu tun. Zum einen wird der Startwert bestimmt, dann die Schaltzeitdifferenz und dann der Start- und Druckzeitpunkt und dann noch das Vorzeichen im Exponenten.

Eine detaillierte Analyse ist jetzt relativ komplex, enthält Faltungen und diskrete Elementarereignisse (Startbeträge) als auch überabzählbare Elementarereignisse, z.B. die Zeiten und die Schaltzeitdifferenz. Dennoch sollte es möglich sein eine finale a-priori Wahrscheinlichkeit oder einige Eigenschaften dieser a-priori Wahrscheinlichkeit zu ermitteln und die muss dem Gegenargument zum Indifferenzprinzip standhalten.

Wenn es eine gültige a-priori Verteilung ist, wird sie das nicht können.

Zunächst einmal vielen Dank für den ersten Diskussionsbeitrag. Ich sehe den Entwurf der Druckmaschine eher als "Angriff" auf die Aussage, dass die Wahrscheinlichkeiten für den doppelten Betrag und den halben Betrag nicht alle gleich sein können.

Startwert, Startzeitpunkt und Schaltzeitdifferenz sehe ich nicht als Zufallsvariablen, sondern als konstante aber für Herrn Schmidt unbekannte Vorgaben. Man kann es sich auch als eine Art slot maschine vorstellen. Die Wahl der Exponenten erfolgt mit 50%-Wahrscheinlichkeitsverteilung. In meinem Beispiel lasse ich Herrn Lemke eines der beiden Umschlagpaare mit 50%-Wahrscheinlichkeit auswählen. Man könnte auch festlegen, dass die Exponenten täglich wechseln. --HerrLemke 19:00, 4. Feb. 2012 (CET)

Argumente für ein abgeschwächtes Indifferenzprinzip

Der Gegenbeweis zum Indifferenzprinzip ist sehr bedauerlich, da er beim Versuch ein Paradoxon zu erklären ein anderes hervorbringt. Und eine Erklärung des Umtauschparadoxons schafft er nicht wirklich, da es für viele formal mögliche a-priori Verteilungen im Prinzip mit anderen Gewinnerwartungen erhalten bleibt und die Erklärung über den unendlichen Erwartungswert nötig wird.

Das neue Paradoxon ist:

In einem Wahrscheinlichkeitsraum mit endlich vielen Elementarereignissen kann das Indifferenzprinzip verwendet werden, wenn es keinen Grund gibt, eines der Elementarereignisse zu bevorzugen.

Ist die Ergebnismenge dieses Wahrscheinlichkeitsraums aber eine Teilmenge also ein Ereignis aus einer abzählbar unendlichen Ergebnismenge, dann darf das Indifferenzprinzip im ersten endlichen Wahrscheinlichkeitsraum nicht mehr verwendet werden.

Das ist ein sehr unbefriedigendes Ergebnis, das Einschränkungen in der praktischen Anwendung der Bayesschen Methode bei unbekannter a-priori Wahrscheinlichkeit mit sich bringt. Deshalb ist es wünschenswert, die Argumente des Gegenbeweises auszuloten und wenn möglich eine Alternative zur Suche von a-priori Wahrscheinlichkeiten in oben genanntem Fall bereitzustellen.

Das ist nicht aussichtslos. Insbesondere dann, wenn das Indifferenzprinzip nicht für beliebige Elementarereignisse, sondern nur für Elementarereignisse innerhalb endlicher Teilmengen der abzählbar unendlichen Ergebnismenge anwendet, wobei diese Teilmengen nur Elementarereignisse enthalten, deren maximaler Abzählindexabstand ein festgelegtes Maximum nicht überschreitet. Das ist eine sehr starke, aber wirksame Einschränkung des Indifferenzprinzips. Man könnte die Einschränkung dadurch motivieren, dass bei einer geometrischen a-priori Verteilung mit Parameter p in allen diesen Teilmengen die Abweichung vom Indifferenzprinzip gleichmäßig kleiner wird, wenn p verkleinert wird.

Im Umtauschparadoxon nutzt Herr Schmidt nur Teilmengen mit maximalem Indexabstand 1, die er dann im Grenzwert als indifferent betrachten darf.

Das Gegenargument kann nun nicht mehr angewendet werden, da es die abgeschwächte Indifferenzaussage über unendlich viele Teilmengen überträgt und somit innerhalb von Teilmengen anwendet, deren Elemente einen Abzählindexabstand haben, der jedes vorher festgelegte Maximum überschreiten muss.

Für so ein abgeschwächtes Indifferenzprinzip spricht auch, dass man im Unwissen über die a-priori Verteilung eine maximale Entropie dieser Verteilung erwartet. Bei der geometrischen Verteilung ist die Entropie endlich, überspringt aber jede Grenze, wenn p gegen Null geht. Natürlich gibt es auch Verteilungen die ohnehin eine unendliche Entropie haben. Allerdings ändert sich die Entropie nicht, wenn man die Wahrscheinlichkeiten in einer oben beschriebenen endlichen Teilmenge tauscht, was auch ein Argument für das Indifferenzprinzip ist und die Einschränkung auf Teilmengen mit beschränktem Abzählindexabstand nahe legt.

Die Argumentation geht natürlich davon aus, dass das Indifferenzprinzip ein Prinzip ist und deshalb als solches nicht bewiesen werden kann. Es sollte allerdings konsistent zu unseren mathematische Auffassungen sein, und deshalb ist es wünschenswert sich seiner Grenzen bewußt zu werden. ein Forumbeitrag

Zurück zur Druckmaschine. Für das abgeschwächte Indifferenzprinzip ist sie sicher bestens geeignet.--Wanierke 13:12, 4. Feb. 2012 (CET)

Ich bin mir nicht sicher was Du mit abgeschwächten Indifferenzprinzip meinst. Entweder es gilt das Indiffernzprinzip uneingeschränkt für alle Ereignisse oder es gilt nicht uneingeschränkt. Vor dem Öffnen der Umschläge gilt es uneingeschränkt. Eine 50/50 Wahrscheinlichkeit nach dem Öffnen würde ich nicht zwingend unter Indifferenzprinzip subsumieren. Als Konstrukteur der Maschine (natürlich nur als Gedankenexperiment) weiß ich, dass p=0,5 für den halben und doppelten Betrag gilt (natürlich auch für die Ereignisse "kleinerer Betrag" und "größerer Betrag").

Die Formulierung im Artikel unter Denkfehler sollte also lauten "das Indifferenzprinzip gilt grundsätzlich vor dem Öffnen aber nicht grundsätzlich nach dem Öffnen" Mit anderen Worten: Herr Schmidt kann recht haben, muss aber nicht. Er kann für aufgedeckte 100 Euro mit seiner Rechnung recht haben, aber auch für alle Beträge (wenn man es als reines Gedankenexperiment betrachtet) --HerrLemke 19:00, 4. Feb. 2012 (CET)

hier habe ich mal versucht alles aus Sicht eines Herrn Lemke in Artikelform zusammenzufassen. --HerrLemke 21:39, 5. Feb. 2012 (CET)

Mit abgeschwächten Indifferenzprinzip meine ich, dass $p=1/n$ in jeder endlichen Teilmenge mit beschränktem Abzählindexabstand mit $n$ Elementen gilt, aber nur als Grenzwert. In Ergebnismengen mit abzählbar unendlich vielen Elementarereignissen, kann das Indifferenzprinzip nicht gelten, d.h. abzählbar unendlich viele Elemtarereignisse können nicht gleichwahrscheinlich sein. Sie könnten aber geometrisch mit Parameter $p$ verteilt sein. Dann ist $p_{k}=p(1-p)^{k}$ mit $k=0,1,2,...$. Wenn man nun eine beliebige endliche Teilmenge mit beschränktem Abzählindexabstand von Elementarereignissen auswählt, dann kann man beim Grenzübergang $p\rightarrow 0$ in der gewählten Teilmenge Gleichwahrscheinlichkeit im Grenzwert herstellen. Die Abschwächung gegenüber dem Indifferenzprinzip, das die Einschränkung "im Grenzwert" nicht hat, besteht darin, das nun die Gleichwahrscheinlichkeit auf endliche Teilmengen mit beschränktem Abzählindexabstand beschränkt bleibt und nicht auf die Gleichwahrscheinlichkeit von Elementarereignissen einer Teilmenge mit unendlich vielen Elementen geschlossen werden kann. Ohne die Einschränkung "im Grenzwert" muss man sofort wegen der Transitivität der Gleichheitsrelation auf gleiche Wahrscheinlichkeit aller Elementarereignisse in einer abzählbar unendlichen Menge schließen und damit das Indifferenzprinzip auch innerhalb endlicher Teilmengen einer abzählbar unendlichen Menge verneinen. --Wanierke 19:40, 6. Feb. 2012 (CET)

Bei einer zufälligen Betrachtung einer Digitaluhr (ohne Datumsanzeige) kann also für alle angezeigten Uhrzeiten das Indiffenzprinzip gelten. Wenn ich aber das Datum daneben schreibe, gilt es nur noch abgeschwächt? Dennoch können bei einer solchen Uhr die Ereignisse 1. Januar 1912 17.30 Uhr und 15. Februar 3016 21.30 Uhr als gleichwahrscheinlich betrachtet werden. Die Anzeige bleibt im beiden Fällen 60 Sekunden stehen. Ich sehe keinen Grund weshalb eines der beiden Ereignisse bevorzugt werden sollte (Schaltsekunden müssen natürlich ausgeklammert werden). --HerrLemke 19:10, 7. Feb. 2012 (CET) Anmerkung: Das gilt natürlich nur, wenn die Uhr absolut gleichmäßig läuft. Wenn die Uhr immer langsamer wird gilt es nicht mehr. Im Umkehrschluß auf das Umtauschparadoxon: Wenn das Indiffenzprinzip für den halben und doppelten Betrag gilt, so läuft sie gleichmäßig. Soll das Indiffernzprinzip immer für den aufgedeckten Betrag und den Erwartungswert gelten, also geöffneter Umschlag und geschlossener Umschlag immer gleichwertig sein, so muss sie immer langsamer werden. Wenn sie kontinuierlich langsamer wird, so gilt das Indifferenzprinzip auch nicht für die Ereignisse "12.00 Uhr" und "12.01 Uhr". --HerrLemke 10:16, 11. Feb. 2012 (CET)

In der Mathematik braucht man, um mit Wahrscheinlichkeiten rechnen zu können, einen Wahrscheinlichkeitsraum. Der besteht aus Elementarereignissen vereint in der Ergebnismenge. Er enthält auch die Menge aller möglichen Ereignisse, dass ist bei einer abzählbaren Ergebnismenge die Menge aller Teilmengen der Ergebnismenge. Und er braucht noch Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse. Zählen wir z.B. die Sekunden der ewig laufenden Digitaluhr und betrachten den Stand des Sekundenzählers 0, 1, 2, … als Elementarereignis, dann haben wir eine abzählbar unendliche Menge von Elementarereignissen. Die Ereignismenge selbst ist jetzt nicht mehr abzählbar, aber das macht nichts. Sie enthält Elemente, wie z.B. die von dir genannten Zeiten, bei denen die Anzeige bezüglich der Tageszeit gleich ist. Aber sie enthält auch Elemente mit einer endlichen Anzahl von Elementarereignissen, z.B. mit zwei benachbarten Sekundenzählerständen, wie sie im Umtauschparadoxon benutzt werden. Wenn wir in irgend einem denkbaren Zufallsexperiment Uhrzeiten dieser Uhr mit Wahrscheinlichkeiten verbinden wollen, müssen wir dafür sorgen, dass die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, also dass die Uhr irgendeine der ihr möglichen Zeiten anzeigt, Eins ist. Und nun wird es problematisch für ein Indifferenzprinzip über unendlich viele Elementarereignisse. Denn die Wahrscheinlichkeit des sicheren Ereignisses, ist auch die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten der unendlich vielen Elementarereignisse. Die wäre aber nicht Eins, wenn die Elementarereignisse allesamt gleichwahrscheinlich sind.

Und weil man genau die genannten Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsraumes von uns fordert, können wir dazu parallel kein Indifferenzprinzip für abzählbar unendliche Ergebnismengen anwenden, auch wenn die Symmetrieüberlegungen noch so zwingend erscheinen. Wir müssen in der Vorstellung über das Zufallsexperiment etwas einfügen, dass durch unsere Annahmen den Axiomen der Wahrscheinlichkeitsrechnung nicht widersprochen wird. Und zwar auch dann, wenn das Experiment ein Gedankenexperiment ist, wie es bei unendlich vielen Elementarereignissen notwendig wird.

Dein Beispiel verdeutlicht die Situation sehr anschaulich. Wenn wir nur die Tageszeit anzeigen, dann darf das Indifferenzprinzip für die 86400 verschiedenen Zeitwerte gelten. Sobald wir das Datum daneben schreiben, darf man das Indifferenzprinzip höchstens für endliche Teilmengen der Zählerstände in einem begrenzten Zeitintervall und nur im Grenzwert gelten lassen. Also wir könnten z.B. auch keine Gleichwahrscheinlichkeit für alle Sekunden-Zählerstände, die Quadratzahlen sind, fordern, es sei denn, diese Zählerstände, wären allesamt unmöglich.

Beim Umtauschparadoxon werden nur benachbarte Zählerstände berücksichtigt. Mit der geometrischen Verteilung mit Parameter p erreichen wir hier sehr einfach Gleichwahrscheinlichkeit im Grenzwert beim Übergang p gegen Null.--Wanierke 23:10, 13. Feb. 2012 (CET)

Noch mal zurück zur Digitaluhr. Sicher können wir im Gedankenexperiment annehmen, dass die Uhr völlig gleichmäßig läuft. Allerdings gibt es noch einen zweiten Aspekt, der für die a-priori Wahrscheinlichkeit der vorgefundenen Zeit bei der Ablesung zu beachten ist. Das muss eine Annahme darüber sein, wie lange die Uhr schon gelaufen sein könnte. Diese Annahme wäre eine a-priori Wahrscheinlichkeit für einen reelle Zahl, die angenommene Laufzeit, die eine Wahrscheinlichkeitsdichte haben muss. Auch hier können wir aus oben genannten Gründen keine Gleichverteilung im Intervall 0 bis unendlich fordern. Diese Forderung berücksichtigst du auch in deinem Zählwerk, das vorerst 100 Stellen hat. Für eine gedanklich angenommene Gleichverteilung der Zeiten wären aber unendlich viele Stellen nötig.--Wanierke 18:32, 14. Feb. 2012 (CET)

Volle Zustimmung zum ersten Abschnitt, bis zum Satz "...Die wäre aber nicht Eins, wenn die Elementarereignisse allesamt gleichwahrscheinlich sind." Wieso nicht? n*1/n=1, das gilt doch immer für n>0

Zitat: "... mit Parameter p erreichen wir hier sehr einfach Gleichwahrscheinlichkeit im Grenzwert beim Übergang p gegen Null". Nein, das ist durchaus problematisch. Ich sehe es nicht so, dass 2 Ereignisse mit der Wahrscheinlichkeit "null" zwingend gleichwahrscheinlich sind, vor allem nicht, wenn "null" nur das Resultat einer Grenzwertbetrachtung ist.

Die Uhr muss nicht schon gelaufen sein. Wir können sie heute starten oder übermorgen, das ist mir egal. Wichtig ist mir vorerst nur, dass mit gleichen Zeitabständen, also gleicher Wahrscheinlichkeit am ersten Tag die Umschläge (1;2) und (1/2;1) und am zweiten Tag Durchgang die jeweils doppelten und halben Beträge mit gleicher Wahrscheinlichkeit angezeigt werden.

Ich schrieb "Das Zählwerk besitzt in der vorläufigen Form 100 Stellen, kann jedoch beliebig erweitert werden." Es ist ein Gedankenexperiment! Der Punkt ist: beim Start braucht man nicht unendlich viele Stellen (und auch keine unendlich großen Beträge). Es reicht die Bedingung, dass die Stellen beliebig erweiterbar sind.

"keine Gleichverteilung im Intervall 0 bis unendlich fordern" ??? Ich fordere ja keine Gleichverteilung sondern liefere eine Gleichverteilung mit dem Gedankenexperiment. Siehst Du z.B. irgendwo eine Ungleichverteilung bei den natürlichen Zahlen? --HerrLemke 22:25, 14. Feb. 2012 (CET)

$n{\frac {1}{n}}=1$ gilt für alle $n\geq 1$ und erlaubt uns eine Gleichverteilung in jeder endlichen Ergebnismenge anzunehmen. Aber bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen wird es komplizierter und wir bekommenen Konflikte, wenn wir eine Gleichverteilung für die natürlichen Zahlen annehmen. Deshalb kann ich mir kein Zufallsexperiment vorstellen, bei dem alle natürlichen Zahlen die gleiche Wahrscheinlichkeit haben. Als Beispiel habe ich so einen Konflikt konstruiert. Dabei kann man immer zwei Zahlen finden, von denen eine mindestens 10 mal wahrscheinlicher ist, als die andere, egal welche Wahrscheinlichkeitsverteilung wir den natürlichen Zahlen auch mitgegeben hatten:

Es sei $p_{k}$ die Wahrscheinlichkeit dafür, die natürliche Zahl k für alle $k=0,1,2,...$ auszuwählen und eine Teilsumme der Wahrscheinlichkeiten sei $S_{n}=\sum _{k=0}^{n}p_{k}$. Für die Teilsummen muss gelten $\lim _{n\to \infty }S_{n}=1$. Also gibt es ein m für das $S_{n}>0,9$ für alle $n>=m$, was ja eine notwendige Konvergenzbedingung für die Folge $(S_{n})$ ist. Also ist auch $S_{m}>0,9$. Folglich gibt es ein $j\leq m$ mit $p_{j}\geq 0,9/(m+1)$. Wenn wir die Konvergenzbedingung noch mal für einen ggf. viel kleineren Abstand zum Grenzwert 1 anwenden, finden wir ein u mit $S_{n}>1-0,09/(m+1)$ für alle $n\geq u$. Also ist für jedes $p_{k}$ mit $k>u$ der Wert $p_{k}<0,09/(m+1)$. Also ist $p_{j}\geq 10p_{u+1}$. Und das können wir für jede Verteilung für die natürlichen Zahlen machen.

Dabei ist es nicht das Problem, das gewisse natürliche Zahlen sich mehr oder weniger auszeichnen als andere, sondern, dass es unbeschränkt viele davon gibt.

Deshalb habe ich auch die Teilmengen in denen das abgeschwächte Indifferenzprinzip gelten kann mit einem maximalen Abzählindexabstand versehen. So kann man die geometrische Verteilung als Rückhalt für ein abgeschwächtes Indifferenzprinzip verwenden, ohne die Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu verletzen. Wenn p gegen null geht, ist damit nicht die Wahrscheinlichkeit $p_{k}$ eines Elementarereignisses sondern der Parameter p der geometrischen Verteilung gemeint.--Wanierke 00:18, 16. Feb. 2012 (CET)

Ja, bei abzählbar unendlichen Ergebnismengen wird es kompliziert, aber nicht unlösbar. Wie auch immer - ich sehe momentan nur mögliche und unmögliche Ereignisse. Wenn man "unendlich" als Zahl auffasst, dann ist es unmöglich ein Ereignis ohne Bevorzugung aus einer unendlich großen Menge herauszugreifen. Die Wahrscheinlichkeit auf ein Ereignis zu treffen ist dann null (tatsächlich null, nicht null als Grenzwert). Wenn man "unendlich" als Grenzwert auffasst, so bedeutet "p=0" nicht unmöglich, sondern "beliebig geringe Wahrscheinlichkeit". Hier muss das Indifferenzprinzip nicht gelten, kann aber gelten. Schwierig wird es doch eigentlich nur, wenn man es nicht einheitlich betrachtet. Dies sehe ich aber eher als generelles Problem. Den Bezug zum Umtauschparadoxon sehe ich noch nicht. Sollte ich "unendlich" geschrieben habe, meinte ich es bislang immer als Grenzwert (beliebig viele gefällt mir ohnehin besser). --HerrLemke 16:50, 17. Feb. 2012 (CET)

Was meinst Du genau mit "die geometrische Verteilung"? Oder ist irgendeine geometrische Vereilung gemeint? --HerrLemke 16:50, 17. Feb. 2012 (CET)

Aus meiner Sicht ist die abzählbar unendliche Ergebnismenge, von der Herr Schmidt ausgeht, eine notwendige Bedingung dafür, dass er mit der „Tausche immer“ Aussage Recht haben kann. Denn wäre die Ergebnismenge abzählbar endlich, dann muss vor dem Öffnen eines Umschlags auch der Erwartungswert für seinen Gewinn den er mit der Strategie „Tausche immer“ erzielt, endlich sein. Das hat zur Folge, dass der Erwartungswert vor dem Öffnen mit der Strategie „Tausche nie“ kleiner ist. Das kann aber nicht sein, da beide Umschläge vor dem Öffnen eines der beiden Umschläge bezüglich des zu erwartenden Gewinns gleichwertig sind. D.h. der Erwartungswert über den Gewinn ohne Öffnen eines Umschlags muss unendlich sein (bzw. darf nicht existieren, was das gleiche bezeichnet). Nur dann kann man obigen Widerspruch entkommen und die „Tausche immer“ Strategie ist überhaupt möglich. Deshalb bevorzuge ich es, von vornherein von einer abzählbar unendlichen Ergebnismenge auszugehen.

Unter geometrischer Verteilung verstehe ich siehe dort Ob man Variante A oder B nimmt, hängt davon ab, ob man von 1 oder 0 mit dem Abzählen startet. Beim Umtauschparadoxon startet man oft mit 0, weil in die Umschläge Zweierpotenzen gesteckt werden und die bei $2^{0}$ beginnen, also Variante B.

Ich hatte meinen ersten Kontakt mit einer Version des Paradoxons, bei dem von vornherein bekannt war, dass nur Zweierpotenzen in den Umschlägen sind. Die Erweiterung für den Fall, dass Herr Schmidt beliebige natürliche Zahlen finden kann, geht aber auch. Dazu werden zwei natürliche Zahlen ${a,b}\in \lbrace 0,1,2,\dotsc \rbrace$ bestimmt. Für a wird eine Verteilung genommen, bei der jede Zahl möglich ist und für b ist die a-priori Wahrscheinlichkeit geometrisch verteilt $p_{b}=p(1-p)^{b}$.

In den Umschlägen befinden sich dann die Zahlen: $(2a+1)2^{b}$ bzw. $(2a+1)2^{b+1}$. Bei dieser Variante ist die nur die a-priori Wahrscheinlichkeit für b für Herrn Schmidt’s bedingte Gewinnerwartung beim Tausch ausschlaggebend. Denn ist eine ungerade Zahl im offenen Umschlag (b=0), dann verdoppelt sich sein Gewinn durch den Tausch und ist eine gerade Anzahl im offenen Umschlag, dann ist sein erwarteter relativer Gewinn $g(p)={\frac {5-4p}{4-2p}}$ unabhängig von der Größe der gefundenen geraden Zahl. Es ist leicht zu sehen, dass $\lim _{p\to 0}g(p)={\frac {5}{4}}$. Wie ich oben schon erwähnt hatte wächst auch die Entropie der Verteilung für b, wenn p verkleinert wird. Da die Entropie ein Maß für die Unkenntnis über die Verteilung von b ist, und wir annehmen, dass diese im Gedankenexperiment beliebig groß ist, wäre das eine Motivation den genannten Grenzwert auszuführen.

Ich verstehe zwar noch nicht so ganz weshalb Du es so betrachten willst, aber dass macht ja auch nichts. Bevor wir uns an Nebenschauplätzen verlieren: "Tausche immer" ist so natürlich nicht richtig. Vermutlich hast Du es so nicht gemeint und ich hoffe, dass ich es auch nirgendwo mißverständlich ausgedrückt habe. (Sonst bitte Rückmeldung, damit ich es korrigieren kann). Es muss schon lauten "tausche bei jedem Betrag", vielleicht auch "tausche wenn du den geöffneten Umschlag hast", besser eigentlich "wenn du den Betrag im geöffneten Umschlag gesehen hast". Den ersten Umschlag zerreißen reicht in meinen Augen nicht. Für mich liegt da "der Hase im Pfeffer" und nicht ob sich der Erwartungswert für den ungeöffneten Umschlag tatsächlich 1,25 ist oder "nur" als Grenzwert 5/4 existiert. (Ehrlich gesagt versehe ich schon grundsätzlich nicht weshalb da ein Unterschied sein soll, da Wahrscheinlichkeiten doch ohnehin Resultat einer Grenzwertbetrachtung sind. Erwartungswerte sind es auch und ebenso geometrische Verteilungen). --HerrLemke 00:21, 19. Feb. 2012 (CET)

Mit dem "Tausche immer" stimme ich deiner Klarstellung voll zu. Ich hatte mich hier auf den von dir gegebenen Kontext des Paradoxons mit einem offenen Umschlag bezogen. "Herr Schmidt musste also zwangsläufig zu dem Ergebnis kommen, dass sich nach Öffnen eines der beiden Umschläge ein Tausch zu dem bislang ungeöffneten Umschlag unter der Zielsetzung einer Gewinnsteigerung lohnt." Es ist klarer, eine deiner Versionen zu verwenden, weil der erwartete Gewinn relativ zum Betrag im offenen Umschlag ist und weil es ja noch eine Version des Paradoxons gibt, bei der ein Umschlag nicht geöffnet werden muss.

Die Betrachtung mit dem nachträglichen Grenzwert hat vor allem das Ziel, das Argument, welches das Indifferenzprinzip zu einer möglichen Verteilung über abzählbar unendlich viele Elementarereignisse zum Widerspruch führt, auszuloten und die Frage zu stellen, ob dieses Argument geeignet ist, das Umtauschparadoxon zu erklären oder am Kern des Problems vorbeigeht.--Wanierke 10:23, 19. Feb. 2012 (CET)

Ja, da sind wir uns wohl einig geworden (oder immer einig gewesen). --HerrLemke 11:30, 19. Feb. 2012 (CET)