HerrLemke

Mein Name ist Herr Lemke – der Gönner von Herrn Schmidt aus dem Artikel das Umtauschparadoxon.

siehe auch: /Alternativartikel Umtauschparadoxon

Meine Erwiderung auf den Artikel „Umtauschparadoxon“ - eine Verteidigungsrede für Herrn Schmidt

Herzstück meiner Druckmaschine war ein einfaches elektronisches Zählwerk, das nach einer festeingestellten Zeitdauer in Einerschritten weiterzählt. Die genaue Zeitdauer kenne nur ich. Beim Start steht das Zählwerk auf null. Ein Resetschalter ist nicht vorhanden und nach einem Stromausfall zählt die Maschine unvermindert weiter. Das Zählwerk besitzt in der vorläufigen Form 100 Stellen, kann jedoch beliebig erweitert werden. Beim erstmaligen Start steht der Zähler auf null. Wenn die Maschine in Betrieb ist, so kann der Druckvorgang zu jedem beliebigen Zeitpunkt ausgelöst werden. Die Werte der ausgedruckten Beträge für die Umschläge berechnen sich nach folgendem Schema: Zeigt das Zählwerk die Ziffer n, so kommt ein Zettel mit dem Aufdruck Startbetrag*2 hoch n Euro in den ersten und der doppelte Eurobetrag hiervon in den zweiten Umschlag (Startbetrag*2 hoch (n+1)) . Zudem wird eine weiteres Umschlagpaar mit den Kehrwerten, also Startbetrag* 1/(2 hoch n) Euro bzw. halber Startbetrag*1/(2 hoch n) Euro gefüllt. Die Wahl eines der beiden Umschlagpaare erfolgt durch einen Münzwurf mit jeweils 50%iger Wahrscheinlichkeit.

Für einen Startbetrag von 1 Euro ergeben sich also folgende Kombinationen:

n=0: (1 Euro; 2 Euro) bzw (1 Euro; ½ Euro)

n=1: (2 Euro; 4 Euro) bzw (½ Euro; ¼ Euro)

n=2: (4 Euro; 8 Euro) bzw (¼ Euro; 1/8 Euro)

Ein Betrag von 100 Euro könnte also bei einem Startbetrag von 50 Euro in der ersten (n=0) oder der zweiten Runde (n=1) zustande kommen. Bei einem Startbetrag von 800 Euro auch in der dritten oder vierten Runde.

Herr Schmidt aus der Geschichte vom angeblichen Umtauschparadoxon kannte meine Vorgehensweise. Daher beruhte seine Überlegung 50 Euro * 0,5 + 200 Euro * 0,5 = 125 Euro nicht auf einem falsch verstandenen Indifferenzprinzip, sondern auf der Kenntnis vom grundsätzlichen Aufbau meiner Druckmaschine.

Herr Schmidt musste also zwangsläufig zu dem Ergebnis kommen, dass sich nach Öffnen eines der beiden Umschläge ein Tausch zu dem bislang ungeöffneten Umschlag unter der Zielsetzung einer Gewinnsteigerung lohnt. Hinsichtlich der Gewinnerwartung, ist der ungeöffnete Umschlag bei dieser Konstruktion tatsächlich immer besser als ein bereits geöffneter Umschlag.

Zu einer abweichenden Entscheidung sollte Herr Schmidt nur dann kommen, wenn er wüsste, dass der aufgedeckte Betrag noch ausgezahlt werden kann, der doppelte Betrag vom bereits aufgedeckten aber mein Vermögen überschreitet. Eine Annahme, die für 200 Euro aber verworfen werden konnte. Zudem ist es bei Glücksspielen nicht ungewöhnlich, dass die „Bank gesprengt“ werden kann oder ein Poker-Spieler nicht nur den mitgebrachten Einsatz verliert, sondern darüber hinaus einen Schuldschein ausstellen muss. Falls dieser Fall eingetreten wäre, so bliebe ich wohl tatsächlich über einen langen Zeitraum verschuldet. Für Herrn Schmidt ändert diese Überlegung nichts an seiner Entscheidung, denn 100 Euro in bar und zusätzlich 100 Euro in Raten sind besser, als auf den Zusatzgewinn von vornherein zu verzichten. Ein Tausch wäre auch dann noch sinnvoll, selbst wenn es lediglich zur Auszahlung einer einzigen kleinen Rate x kommen sollte, da auch 50 Euro * 0,5 + 100 Euro * 0,5 + x * 0,5 niemals kleiner als die ursprünglich aufgedeckten 100 Euro sind. Gedanklich wäre es ebenso möglich das Auswahlverfahren solange auszusetzen bis der Zinszuwachs auf mein angespartes Vermögen ausreicht um den möglichen Gewinn auszuzahlen.

Wichtig ist zu beachten, dass sich mein beschriebenes Auswahlverfahren nicht zwingend aus der ursprünglichen Problemstellung ergibt. Herrn Schmidts Schlussfolgerung ist also auch nicht zwingend richtig, könnte aber für alle aufgedeckten Beträge richtig sein! Möglich wäre für mich auch ein anderes Verfahren gewesen, zum Beispiel auch in der Form, dass ausgehend von einem aufgedeckten Betrag Z sich der kleinere Betrag Z/2 immer mit einer Wahrscheinlichkeit > 2/3 im verschlossenen Umschlag befindet. In diesem Fall wäre es immer von Vorteil den zunächst aufgedeckten Betrag zu wählen. Tatsächlich gleichwertig sind geöffneter und ungeöffneter Umschlag immer dann, wenn die Wahrscheinlichkeiten für das Aufdecken des halben und doppelten Betrages im Verhältnis 2 zu 1 stehen und sich somit p(Z/2)=2/3 und p(2Z) = 1/3 ergibt. Auch eine solche Verteilung lässt sich konstruieren. In der Regel muss aber davon ausgegangen werden, dass nach dem Öffnen eines Umschlags der jetzt bekannte Wert des geöffneten Umschlags nicht mit dem Erwartungswert des ungeöffneten übereinstimmt. Die tatsächlichen Werte beider Umschläge können für Z>0 nicht gleich sein. Die Erwartungswerte beider Umschläge sind vor dem Öffnen nur deshalb immer gleich, weil sie für einen Beobachter von außen nicht zu unterschieden sind.

Auch wenn Tauschen für jeden aufgedeckten Betrag einen rechnerischen Vorteil ergibt, folgt daraus nicht, dass die Strategie „immer tauschen“ besser sei als „nie tauschen“. Aufgrund des Indifferenzprinzips müssen auf lange Sicht die Strategien „immer tauschen“ und „nie tauschen“ gleichwertig sein. Unabhängig von der gewählten Verteilung geht auf lange Sicht bei mehrfacher Wiederholung der rechnerische Vorteil im Verhältnis zur Gesamtgewinnsumme immer gegen Null.

Herr Lemke

Wikipedia am 27.01.2012

Meine Tauschempfehlung

Mindestens zwei weitere Denkfehler verbergen sich im Artikel und sind bezeichnend für das sogenannte Umschlagparadoxon. Der erste Denkfehler ist die Annahme aus der Prämisse, dass beide Umschläge vor dem Öffnen gleichwertig sind, folge zwingend, dass sie es auch nach dem Öffnen eines der beiden Umschläge noch seien. Bei genauer Betrachtung ist dies die absolute Ausnahme. Der zweite Denkfehler ist die Annahme, dass für eine Tauschentscheidung nach dem Öffnen die bedingte Wahrscheinlichkeit auf der Basis des aufgedeckten Betrages verwendet werden müsse. Es reichen auch folgende Überlegungen:

Das Umtauschparadoxon kann wie das Zwei-Zettel-Spiel wie jedes gewöhnliche Glücksspiel betrachtet werden. Auch gewöhnliche Glücksspiele sind nicht immer als fair zu bezeichnen. Auf lange Sicht gewinnt in der Regel die Bank und ein solches Spiel ist daher aus Sicht eines Spielers als unfair zu betrachten, da er seinen Einsatz auf lange Sicht verlieren wird. Aus Sicht der Bank lohnt sich Weiterspielen mit immer neuen Spielern, da der Erwartungswert für eine Gewinnauszahlung immer größer ist, als der Einsatz eines jeden Spielers.

Ein Glücksspiel lohnt sich immer dann, wenn der Erwartungswert vom Gewinn größer ist als der Einsatz. Wenn Einsatz und Gewinnerwartung gleich sind spricht man von einem fairen Spiel. Ist die Gewinnerwartung kleiner als der Einsatz, so lohnt es sich für die Gegenseite. Auf lange Sicht kann bei mehrfachem Spiel die Gewinnerwartung gegen unendlich gehen oder gegen null. Üblicherweise ist die Gewinnwahrscheinlichkeit unabhängig vom eingesetzten Betrag. Sie kann auch wie beim Umtauschparadoxon vom Einsatz abhängig sein, aber auch hierbei auf einem festen Wert zustreben.

Es sind vier Fälle zu unterscheiden:

1) Der Erwartungswert strebt gegen unendlich
2) Der Erwartungswert strebt gegen einen endlichen Betrag > 0
3) Der Erwartungswert strebt gegen null
4) Der Wert beider Umschläge ist null

Im ersten Fall darf Herr Schmidt mich wohl tatsächlich als Gönner ansehen. In früheren Versionen des Wikipediaartikels wurde ich auch mal so bezeichnet. Nicht nur, dass ich ihm sicher den Betrag im ersten Umschlag schenke. Ich biete ihm zudem noch einen Tausch an, der für jeden möglichen Betrag mit einem Verteil für Herrn Schmidt verbunden ist.

Der zweite Fall in unproblematisch. Wenn Herr Schmidt vermutet, dass der Erwartungswert eines beliebigen Umschlags vor dem Öffnen z.B. 1000 Euro beträgt, so würde er bei jedem Betrag darunter tauschen und bei jedem Betrag über 1000 Euro nicht tauschen. Auch wenn Herr Schmidt mit der Vermutung 1000 Euro falsch läge, wäre dies unter der genannten Voraussetzung besser, als jede der Alternativen „tausche bei jedem Betrag“ oder „tausche bei keinem Betrag“.

Im dritten Fall wäre ich nur vordergründig ein Gönner. Zwar hätte Herr Schmidt den halben Betrag in jedem Fall sicher. Verleite ich ihn aber zum Tauschen, so gewinnt er bei jedem aufgedeckten Betrag weniger als bei der Strategie konsequent nicht zu tauschen. In diesem Fall wäre Nichttauschen für jeden Betrag besser als Tauschen.

Der vierte Fall darf nicht unerwähnt bleiben, denn 0*2=0*1/2. Dies steht aber im Widerspruch zu der Aussage, dass ich Herrn Schmidt beschenken wolle.

Herr Lemke

31. Jan. 2012

Da Herumnörgeln wenig produktiv ist habe ich versucht meine (Herrn Lemkes) Sicht zusammenzufassen unter: /Alternativartikel Umtauschparadoxon