Benutzer:RosarioVanTulpe/Neu13

injektiv - surjektiv - bijektiv - eine einfache Erklärung für Nichtmathematiker

Injektivität - Surjektivität - Bijektivität

Injektiv

Seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f:X\to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$ .
$f$ heißt injektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ höchstens ein $x$ aus $X$ (kein oder ein $x$ , aber nicht mehr) existiert mit $f(x)=y$ .

$f$ heißt injektiv, wenn ungleiche $x$ -Werte stets auf ungleiche $y$ -Werte abgebildet werden.
Formal : $\forall x_{1},x_{2}\in X:x_{1}\neq x_{2}\Rightarrow f(x_{1})\neq f(x_{2})$

Surjektiv

Es seien $X$ und $Y$ Mengen, sowie $f:X\to Y$ eine Abbildung von $X$ nach $Y$ .

$f$ heißt surjektiv, wenn für alle $y$ aus $Y$ mindestens ein $x$ aus $X$ mit $f(x)=y$ existiert.

Formal: $\forall y\in Y\ \exists x\in X:f(x)=y$

Bijektiv

Sei $f$ eine Funktion von $X$ nach $Y$ , also $f\colon X\to Y$

$f$ ist bijektiv, wenn für alle $y\in Y$ genau ein $x\in X$ mit $f\left(x\right)=y$ existiert.

Formal: $\forall y\in Y\ \exists !x\in X:f(x)=y$

Mit anderen Worten kann man diese Bedingung so ausdrücken:

$f$ ist bijektiv, wenn $f$ injektiv und surjektiv ist.

Beispiele

Bild	einfache Erklärung	mathematische Erklärung
Bild 1	Die Menge X (blau, linke Seite) wird auf die Menge Y (rot, rechte Seite) abgebildet. In anderen Abbildungen wird oft von der Menge A und B bzw. von der Menge W (Wertebereich) und D (Definitionsbereich) gesprochen.	$X$ ist der Defintionsbereich einer Funktion $F$ und $Y$ eine Obermenge (Oberklasse) des Wertebereiches von $F$ . Formal geschrieben: $F$ : $X$ $\to$ $Y$ $\Leftrightarrow$ ${\textrm {Fun}}(F)$ $\land$ ${\textrm {dom}}(F)=X$ $\land$ ${\textrm {ran}}(F)$ $\!^{\subseteq }$ $Y$ , wobei hier ${\textrm {Fun}}(F)$ $\Leftrightarrow$ ${\textrm {Rel}}(F)$ $\land$ $\!^{\forall }$ $x,y_{1},y_{2}(xFy_{1}$ $\land$ $xFy_{2})$ $\Rightarrow$ $y_{1}=y_{2})$ und ${\textrm {Rel}}(F)$ $\Leftrightarrow$ $F$ $\!^{\subseteq }$ $(X$ $\cup$ $Y)$ $\times$ $(X$ $\cup$ $Y)$ und ${\textrm {dom}}(F)$ $:=$ $\{x\|$ $\!^{\exists }$ $y(xFy)\}$ und ${\textrm {ran}}(F)$ $:=$ $\{y\|$ $\!^{\exists }$ $x(xFy)\}$ .
Bild 3
Bild 4: nicht injektiv	Injektiv heißt, dass jedes Element der Zielmenge Y höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird. Das ist hier nicht der Fall.
Bild 5
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